Chủ đề này có 8 trả lời

[WhjteShadow]

CH0 $a,b,c\geq 0,a^2+b^2+c^2=3$
Chứng Minh rằng $5(a+b+c)+\frac{3}{abc}\geq 18$

[Math Is Love]

Áp dụng BĐT AM-GM, ta có:

$a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq 3\sqrt[3]{a^{2}b^{2}c^{2}}$
$\Rightarrow$$\sqrt[3]{a^{2}b^{2}c^{2}}\leq 1$
$\Rightarrow$0$\leq$abc$\leq$1 (do a,b,c>0)
$\Rightarrow$$\frac{3}{abc}\geq \frac{3}{1}=3$. Dấu "=" xảy ra <=> a=b=c
Có a+b+c đạt GTNN $\Leftrightarrow$ a=b=c theo BĐT Cô-si
$\Rightarrow$5(a+b+c)$\geq$5(1+1+1)=15
$\Rightarrow$đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi L Lawliet: 17-05-2012 - 08:34
$\LaTeX$

[nthoangcute]

Áp dụng BĐT AM-GM, ta có:

$a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq 3\sqrt[3]{a^{2}b^{2}c^{2}}$
=>$\sqrt[3]{a^{2}b^{2}c^{2}}\leq 1$
=>0$\leq$abc$\leq$1 (do a,b,c>0)
=>$\frac{3}{abc}\geq \frac{3}{1}=3$. Dấu "=" xảy ra <=> a=b=c
Có a+b+c đạt GTNN <=> a=b=c theo BĐT Cô-si
=>5(a+b+c)$\geq$5(1+1+1)=15
=>đpcm

Cho mình hỏi cái tại sao có cái này

[dungmathpro]

$5(a+b+c)+\frac{3}{abc}\geq 5(a+b+c)+\frac{a^2+b^2+c^2}{(\frac{a+b+c}{3})^3}\geq 5(a+b+c)+\frac{\frac{(a+b+c)^2}{3}}{(\frac{a+b+c}{3})^3}= 5(a+b+c)+\frac{9}{a+b+c}= \frac{45}{a+b+c}+5(a+b+c)-\frac{36}{a+b+c}\geq 30-\frac{36}{a+b+c}$
de y
$a+b+c\leq \sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}=3\Rightarrow \frac{36}{a+b+c}\geq 12\Rightarrow -\frac{36}{a+b+c}\leq -12$
suy ra $P\geq 30-12=18\Rightarrow dpcm$

[WhjteShadow]

$5(a+b+c)+\frac{3}{abc}\geq 5(a+b+c)+\frac{a^2+b^2+c^2}{(\frac{a+b+c}{3})^3}\geq 5(a+b+c)+\frac{\frac{(a+b+c)^2}{3}}{(\frac{a+b+c}{3})^3}= 5(a+b+c)+\frac{9}{a+b+c}= \frac{45}{a+b+c}+5(a+b+c)-\frac{36}{a+b+c}\geq 30-\frac{36}{a+b+c}$
de y
$a+b+c\leq \sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}=3\Rightarrow \frac{36}{a+b+c}\geq 12\Rightarrow -\frac{36}{a+b+c}\leq -12$
suy ra $P\geq 30-12=18\Rightarrow dpcm$

Bó tay lại sai bạn chứng minh ngược chiều phần < -12 rồi

[dungmathpro]

Bó tay lại sai bạn chứng minh ngược chiều phần < -12 rồi

chac la ban lam rui
$\frac{36}{a+b+c}\geq \frac{36}{\sqrt{3(x^2+y^2+z^2)}}\Rightarrow -\frac{36}{a+b+c}\leq\frac{36}{\sqrt{3(x^2+y^2+z^2)}}=-12$
minh tin chac la bai lam cua minh la chinh xac

[CD13]

Anh làm trọng tài vậy: dungmathpro đã dùng BĐT ngược chiều rồi đó nhé!

[WhjteShadow]

Mình nói là đoạn sau đó kìa B lớn hơn C mà A-B lớn hơn A-C à

[nthoangcute]

Lời giải ở đó sai một số chỗ.
Mình post lại ở đây:http://diendantoanho...showtopic=72124

Yeah, vậy là có giải Bài 1 rồi:

Lời giải của hgly1996 bên mathscope

Ta có: $A=5(a+b+c)+\frac{3}{abc}$

Suy ra $A^6=(5(a+b+c)+\frac{3}{abc})^6$

$=((a+b+c)+(a+b+c)+(a+b+c)+(a+b+c)+(a+b+c)+\frac{3}{abc})^6$

$\geq 6^6.\frac{3(a+b+c)^5}{abc}$

$=16656\frac{3(a+b+c)^5}{abc}$

Ta có:
$(a+b+c)^6=27.(\frac{(a^2+b^2+c^2)+(ab+bc+ca)+(ab+bc+ca)}{3})^3$

$\geq 27(a^2+b^2+c^2)(ab+bc+ca)^2$

$\geq 27(a^2+b^2+c^2).3abc(a+b+c)$

$=243abc(a+b+c)$

Suy ra $(a+b+c)^5 \geq 243 abc$

Vậy $A^6 \geq 46656 \frac{3(a+b+c)^5}{abc} \geq 46656.\frac{3.243abc}{abc}=34012224=18^6$

Suy ra $A \geq 18$

Suy ra đpcm