Chủ đề này có 3 trả lời

[Mai Duc Khai]

Bài 1: Cho $a,b,c,d \ge 0$ thỏa mãn:
$\left\{ \begin{array}{l}
{a^2} + 2{b^2} + 3{c^2} + 4{d^2} = 36\\
2{a^2} + {b^2} - 2{d^2} = 6
\end{array} \right.$
Tìm $MinP = {a^2} + {b^2} + {c^2} + {d^2}$
Bài 2:Cho $x,y,z \in {R^ + }$:
Tìm $MinA = \frac{x}{y} + \sqrt {1 + \frac{y}{z}} + \sqrt[3]{{1 + \frac{z}{x}}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi maikhaiok: 25-04-2012 - 22:23

[phantomladyvskaitokid]

Bài 1: Cho $a,b,c,d \ge 0$ thỏa mãn:
$\left\{ \begin{array}{l}
{a^2} + 2{b^2} + 3{c^2} + 4{d^2} = 36\\
2{a^2} + {b^2} - 2{d^2} = 6
\end{array} \right.$
Tìm $MinP = {a^2} + {b^2} + {c^2} + {d^2}$

1. $\left\{ \begin{array}{l} {a^2} + 2{b^2} + 3{c^2} + 4{d^2} = 36\\ 2{a^2} + {b^2} - 2{d^2} = 6 \end{array} \right. \Rightarrow 3(a^2+b^2+c^2+d^2)=42+d^2\geq 42$

$P_{Min}=14\Leftrightarrow a=1, b=2,c=3, d=0$

[pumpumt]

Bài 2:(hình như thiếu điều kiện x là max)
A=$\frac{x}{y}+\sqrt{1+\frac{y}{}z} +\sqrt[3]{1+\frac{z}{x}}\geq \frac{x}{y}+\sqrt{2}\times ^\sqrt[4]{\frac{y}{z}}+\sqrt[3]{2}\sqrt[6]{\frac{z}{x}}= \frac{1}{2\sqrt{2}}\left ( \frac{x}{y}+4\sqrt[4]{\frac{y}{z}}+6\sqrt[6]{\frac{z}{x}} \right )+\left ( 1-\frac{1}{2\sqrt{2}} \right )\frac{x}{y}+\left ( \sqrt[3]{2}-\frac{6}{2\sqrt{2}} \right )\sqrt[6]{\frac{z}{x}}$
áp dụng cauchy ta được
$\frac{1}{2\sqrt{2}}\left ( \frac{x}{y} +4\sqrt[4]{\frac{y}{z}}+6\sqrt[6]{\frac{z}{x}}\right )\geq \frac{11}{2\sqrt{2}}\sqrt[11]{\frac{x}{y}\times \frac{y}{z}\times \frac{z}{x}}= \frac{11}{2\sqrt{2}}$
lại có x là max(x,y,z) nên $\frac{x}{y}\geq 1\geq \frac{z}{x}$
nên $1-\frac{1}{2\sqrt{2}}> 0> \sqrt[3]{2}-\frac{6}{2\sqrt{2}}$
$\Rightarrow A\geq \frac{11}{2\sqrt{2}}+1-\frac{1}{2\sqrt{2}}+\sqrt[3]{2}-\frac{6}{2\sqrt{2}}=1+\sqrt{2}+\sqrt[3]{2}$

[pumpumt]

dấu = xảy ra khi x=y=z