-Mặc dù không giỏi về phần bất đẳng thức này lắm , nhưng mình vẫn xin phép được mở topic này .
-Mục đích của topic này chính là "thanh lý" những bài bất đẳng thức trong những bộ đề được post trên mạng nhưng chưa có lời giải và những bài......nói chung thì có bài nào post đại bài đấy (chủ yếu là để dễ dàng thống kê , sau này muốn xem lại thì cũng đỡ mất thời gian tìm kiếm ).
-Mong rằng những bạn giải bài giải một cách rõ ràng , không viết tắt và những câu đại loại như :"bài này dễ quá" hay chỉ nói một câu " dùng Cauchy-Schwarz " mà không chịu giải ra.
-Bắt đầu với những bài đầu tiên :
Bài 1:Cho $a, b, c > 0$ và $abc=1.$Chứng minh rằng :
$\frac{ab}{a^5+b^5+ab}+\frac{bc}{b^5+c^5+bc}+\frac{ca}{c^5+a^5+ca}\leq 1$
Bài 2:Cho $a,b,c$ là các số thực dương.Chứng minh rằng:
$\frac{ab}{a^2+3b^2}+\frac{bc}{b^2+3c^2}+\frac{ca}{c^2+3a^2}\leq \frac{3}{4}$
Nếu tiêu đề của em có vấn đề thì mong các mod sửa lại dùm cho ạ :-? thật sự em chẳng biết đặt gì cho cái topic này nữa .
Bất đẳng thức và cực trị
Bắt đầu bởi Jelouis, 27-04-2012 - 05:51
#1
Đã gửi 27-04-2012 - 05:51
Hope for the best , prepare for the worst.!!!
#2
Đã gửi 27-04-2012 - 09:02
Bài 1:
$a^5+b^5=(a^3+b^3)(a^2+b^2)-a^2b^2(a+b)\geq ab(a+b)2ab-a^2b^2(a+b)= a^2b^2(a+b) \Rightarrow a^5+b^5+ab\geq ab(a^2b+ab^2+abc)\Rightarrow \frac{ab}{a^5+b^5+ab}\leq \frac{1}{ab(a+b+c)}$
tương tự
$\Rightarrow A\leq \frac{1}{ab(a+b+c)}+\frac{1}{bc(a+b+c)}+\frac{1}{ac(a+b+c)}=\frac{a+b+c}{abc(a+b+c)}=1\Rightarrow đpcm$
$a^5+b^5=(a^3+b^3)(a^2+b^2)-a^2b^2(a+b)\geq ab(a+b)2ab-a^2b^2(a+b)= a^2b^2(a+b) \Rightarrow a^5+b^5+ab\geq ab(a^2b+ab^2+abc)\Rightarrow \frac{ab}{a^5+b^5+ab}\leq \frac{1}{ab(a+b+c)}$
tương tự
$\Rightarrow A\leq \frac{1}{ab(a+b+c)}+\frac{1}{bc(a+b+c)}+\frac{1}{ac(a+b+c)}=\frac{a+b+c}{abc(a+b+c)}=1\Rightarrow đpcm$
- Jelouis yêu thích
#3
Đã gửi 27-04-2012 - 20:33
Bài 2:Cho $a,b,c$ là các số thực dương.Chứng minh rằng:
$\frac{ab}{a^2+3b^2}+\frac{bc}{b^2+3c^2}+\frac{ca}{c^2+3a^2}\leq \frac{3}{4}$
Ta có: $a^2+3b^2=(a^2+b^2)+2b^2\geq 2\sqrt{2(a^2+b^2)}.b$
Suy ra: $\frac{ab}{a^2+3b^2}\leq \frac{ab}{2\sqrt{2(a^2+b^2)}.b}=\frac{a}{2\sqrt{2(a^2+b^2)}}$
Do đó:
$\frac{ab}{a^2+3b^2}+\frac{bc}{b^2+3c^2}+\frac{ca}{c^2+3a^2}\leq \frac{1}{2\sqrt{2}}(\sum \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}})$
Ta cần chứng minh: $\frac{1}{2\sqrt{2}}(\sum \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}})\leq \frac{3}{4}.$
Hay: $\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}+\frac{b}{\sqrt{b^2+c^2}}+\frac{c}{\sqrt{c^2+a^2}}\leq \frac{3}{\sqrt{2}}$
Đặt: $a^2=x,b^2=y,c^2=z$. Khi đó:
$\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}+\frac{b^2}{\sqrt{b^2+c^2}}+\frac{c^2}{\sqrt{c^2+a^2}}\leq \frac{3}{\sqrt{2}}$
$\Leftrightarrow \sqrt{\frac{x}{x+y}}+\sqrt{\frac{y}{y+z}}+\sqrt{\frac{z}{x+z}}\leq \frac{3}{\sqrt{2}}$
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz, ta có:
$\sqrt{\frac{x}{x+y}}+\sqrt{\frac{y}{y+z}}+\sqrt{\frac{z}{x+z}}$
$=\sqrt{\frac{x(y+z)}{(x+y)(y+z)}}+\sqrt{\frac{y(x+z)}{(y+z)(x+z)}}+\sqrt{\frac{z(x+y)}{(y+z)(x+y)}}$
$\leq \sqrt{2(xy+yz+xz)[\frac{1}{(x+y)(y+z)}+\frac{1}{(y+z)(x+z)}+\frac{1}{(x+z)(x+y)}]}$
$=\sqrt{2(xy+yz+xz).\frac{2(x+y+z)}{(x+y)(y+z)(x+z)}}$
$=\sqrt{\frac{4(x+y+z)(xy+yz+xz)}{(x+y)(y+z)(x+z)}}$
Để chứng minh $\sqrt{\frac{x}{x+y}}+\sqrt{\frac{y}{y+z}}+\sqrt{\frac{z}{x+z}}\leq \frac{3}{\sqrt{2}}$
ta quy về chứng minh $\sqrt{\frac{4(x+y+z)(xy+yz+xz)}{(x+y)(y+z)(x+z)}}\leq \frac{3}{\sqrt{2}}$
Hay:
$(x+y)(y+z)(x+z)\geq \frac{8}{9}(x+y+z)(xy+yz+xz)$
$\Leftrightarrow 8(x+y+z)(xy+yz+xz)\leq 9(x+y)(y+z)(x+z)$
Ta có:
$(x+y)(y+z)(x+z)=(x+y+z)(xy+yz+xz)-xyz$
Do đó:
$8(x+y+z)(xy+yz+xz)=8(x+y)(y+z)(x+z)+xyz$
Bây giờ chỉ cần chứng minh:
$(x+y)(y+z)(x+z)\geq 8xyz$
Áp dụng BĐT AM-GM:
$x+y\geq 2\sqrt{xy},y+z\geq 2\sqrt{yz},x+z\geq 2\sqrt{xz}$
Nhân $3$ BĐT trên theo vế ta có điều cần chứng minh.
Vậy BĐT đã được chứng minh.
Dấu $"="$ xảy ra khi và chỉ khi $x=y=z\Leftrightarrow a=b=c$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huynhmylinh: 27-04-2012 - 20:36
- le_hoang1995 và dungmathpro thích
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh