3 replies to this topic

[Jelouis]

-Mặc dù không giỏi về phần bất đẳng thức này lắm , nhưng mình vẫn xin phép được mở topic này .
-Mục đích của topic này chính là "thanh lý" những bài bất đẳng thức trong những bộ đề được post trên mạng nhưng chưa có lời giải và những bài......nói chung thì có bài nào post đại bài đấy (chủ yếu là để dễ dàng thống kê , sau này muốn xem lại thì cũng đỡ mất thời gian tìm kiếm ).
-Mong rằng những bạn giải bài giải một cách rõ ràng , không viết tắt và những câu đại loại như :"bài này dễ quá" hay chỉ nói một câu " dùng Cauchy-Schwarz " mà không chịu giải ra.
-Bắt đầu với những bài đầu tiên :
Bài 1:Cho $a, b, c > 0$ và $abc=1.$Chứng minh rằng :
$\frac{ab}{a^5+b^5+ab}+\frac{bc}{b^5+c^5+bc}+\frac{ca}{c^5+a^5+ca}\leq 1$
Bài 2:Cho $a,b,c$ là các số thực dương.Chứng minh rằng:
$\frac{ab}{a^2+3b^2}+\frac{bc}{b^2+3c^2}+\frac{ca}{c^2+3a^2}\leq \frac{3}{4}$

Nếu tiêu đề của em có vấn đề thì mong các mod sửa lại dùm cho ạ :-? thật sự em chẳng biết đặt gì cho cái topic này nữa .

[dungmathpro]

Bài 1:
$a^5+b^5=(a^3+b^3)(a^2+b^2)-a^2b^2(a+b)\geq ab(a+b)2ab-a^2b^2(a+b)= a^2b^2(a+b) \Rightarrow a^5+b^5+ab\geq ab(a^2b+ab^2+abc)\Rightarrow \frac{ab}{a^5+b^5+ab}\leq \frac{1}{ab(a+b+c)}$
tương tự
$\Rightarrow A\leq \frac{1}{ab(a+b+c)}+\frac{1}{bc(a+b+c)}+\frac{1}{ac(a+b+c)}=\frac{a+b+c}{abc(a+b+c)}=1\Rightarrow đpcm$

[MIM]

Bài 2:Cho $a,b,c$ là các số thực dương.Chứng minh rằng:
$\frac{ab}{a^2+3b^2}+\frac{bc}{b^2+3c^2}+\frac{ca}{c^2+3a^2}\leq \frac{3}{4}$

Ta có: $a^2+3b^2=(a^2+b^2)+2b^2\geq 2\sqrt{2(a^2+b^2)}.b$

Suy ra: $\frac{ab}{a^2+3b^2}\leq \frac{ab}{2\sqrt{2(a^2+b^2)}.b}=\frac{a}{2\sqrt{2(a^2+b^2)}}$

Do đó:
$\frac{ab}{a^2+3b^2}+\frac{bc}{b^2+3c^2}+\frac{ca}{c^2+3a^2}\leq \frac{1}{2\sqrt{2}}(\sum \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}})$


Ta cần chứng minh: $\frac{1}{2\sqrt{2}}(\sum \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}})\leq \frac{3}{4}.$

Hay: $\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}+\frac{b}{\sqrt{b^2+c^2}}+\frac{c}{\sqrt{c^2+a^2}}\leq \frac{3}{\sqrt{2}}$

Đặt: $a^2=x,b^2=y,c^2=z$. Khi đó:

$\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}+\frac{b^2}{\sqrt{b^2+c^2}}+\frac{c^2}{\sqrt{c^2+a^2}}\leq \frac{3}{\sqrt{2}}$

$\Leftrightarrow \sqrt{\frac{x}{x+y}}+\sqrt{\frac{y}{y+z}}+\sqrt{\frac{z}{x+z}}\leq \frac{3}{\sqrt{2}}$



Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz, ta có:
$\sqrt{\frac{x}{x+y}}+\sqrt{\frac{y}{y+z}}+\sqrt{\frac{z}{x+z}}$

$=\sqrt{\frac{x(y+z)}{(x+y)(y+z)}}+\sqrt{\frac{y(x+z)}{(y+z)(x+z)}}+\sqrt{\frac{z(x+y)}{(y+z)(x+y)}}$

$\leq \sqrt{2(xy+yz+xz)[\frac{1}{(x+y)(y+z)}+\frac{1}{(y+z)(x+z)}+\frac{1}{(x+z)(x+y)}]}$

$=\sqrt{2(xy+yz+xz).\frac{2(x+y+z)}{(x+y)(y+z)(x+z)}}$

$=\sqrt{\frac{4(x+y+z)(xy+yz+xz)}{(x+y)(y+z)(x+z)}}$


Để chứng minh $\sqrt{\frac{x}{x+y}}+\sqrt{\frac{y}{y+z}}+\sqrt{\frac{z}{x+z}}\leq \frac{3}{\sqrt{2}}$

ta quy về chứng minh $\sqrt{\frac{4(x+y+z)(xy+yz+xz)}{(x+y)(y+z)(x+z)}}\leq \frac{3}{\sqrt{2}}$

Hay:
$(x+y)(y+z)(x+z)\geq \frac{8}{9}(x+y+z)(xy+yz+xz)$

$\Leftrightarrow 8(x+y+z)(xy+yz+xz)\leq 9(x+y)(y+z)(x+z)$

Ta có:

$(x+y)(y+z)(x+z)=(x+y+z)(xy+yz+xz)-xyz$

Do đó:

$8(x+y+z)(xy+yz+xz)=8(x+y)(y+z)(x+z)+xyz$

Bây giờ chỉ cần chứng minh:

$(x+y)(y+z)(x+z)\geq 8xyz$

Áp dụng BĐT AM-GM:

$x+y\geq 2\sqrt{xy},y+z\geq 2\sqrt{yz},x+z\geq 2\sqrt{xz}$

Nhân $3$ BĐT trên theo vế ta có điều cần chứng minh.

Vậy BĐT đã được chứng minh.

Dấu $"="$ xảy ra khi và chỉ khi $x=y=z\Leftrightarrow a=b=c$

Edited by huynhmylinh, 27-04-2012 - 20:36.

[Ispectorgadget]

Thật ra diễn đàn có 1 topic tương tự rồi. Có gì bạn post vào đây nhé