Chủ đề này có 2 trả lời

[Tham Lang]

Bài toán :
Cho $a,b,c,d,e,f$ là các số thực dương . Chứng minh rằng :
$$\dfrac{ab}{a+b}+\dfrac{cd}{c+d}+\dfrac{ef}{e+f}\le \dfrac{(b+d+f)(a+c+e)}{a+b+c+d+e+f}$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huymit_95: 28-04-2012 - 21:04

[phantomladyvskaitokid]

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phantomladyvskaitokid: 27-04-2012 - 21:57

[le_hoang1995]

Theo mình hiểu thì đề phải như thế này

$\frac{ab}{a+b}+\frac{cd}{c+d}+\frac{ef}{e+f}\leq \frac{(a+c+e)(b+d+f)}{a+b+c+c+d+f}$

Bài này đã có ở đây rồi.

Ta đi chứng minh BĐT sau:

$\frac{ax}{a+x}+\frac{by}{b+y}\leq \frac{(a+b)(x+y)}{a+b+x+y}$

Quy đồng rồi nhân tung ra, rút gọn lại, ta được $(ay)^2+(bx)^2\geq 2abxy$ đúng.

Dấu bằng xảy ra khi $\frac{a}{b}=\frac{x}{y}$

Như vậy, ta có

$VT\leq \frac{(a+b)(x+y)}{(a+b)+(x+y)}+\frac{cz}{c+z}$

Nếu coi như $a+b=A,x+y=B$ cho dễ nhìn thì theo BĐT đã chứng minh trên, ta có

$VT\leq \frac{(a+b)(x+y)}{(a+b)+(x+y)}+\frac{cz}{c+z}\leq \frac{(a+b+c)(x+y+z)}{a+b+c+x+y+z}$

Dấu = xảy ra khi $\frac{a+b}{c}=\frac{x+y}{z}$

Như vậy để đơn giản, dấu = đã xảy ra khi $\frac{a}{x}=\frac{b}{y}=\frac{c}{z}$

Mình thấy có nhiều bài tương đồng với bài trên.

1) VMO 1962

$\frac{1}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}+\frac{1}{\frac{1}{c}+\frac{1}{d}}\leq \frac{1}{\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+d}}$

2) Tổng quát cho $2n$ số dương $a_1,a_2...a_n;b_1,b_2,...b_n$ ta có:

$\frac{1}{\frac{1}{a_1}+\frac{1}{b_1}}+\frac{1}{\frac{1}{a_2}+\frac{1}{b_2}}+...+\frac{1}{\frac{1}{a_n}+\frac{1}{b_n}}\leq \frac{1}{\frac{1}{a_1+a_2+...+a_n}+\frac{1}{b_1+b_2+...+b_n}}$

Chứng minh dùng quy nạp.

3) $\frac{1}{\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+...+\frac{1}{a_n}}+\frac{1}{\frac{1}{b_1}+\frac{1}{b_2}+...+\frac{1}{b_n}}\leq \frac{1}{\frac{1}{a_1+b_1}+\frac{1}{a_2+b_2}+...+\frac{1}{a_n+b_n}}$

Chứng minh dùng quy nạp http://diendantoanho...showtopic=71662

4) Gộp cả 2 và 3 lại.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi le_hoang1995: 28-04-2012 - 13:05