Chủ đề này có 1 trả lời

[hola0905]

Cho 3 phương trình $x^2+ax+1=0(1)$;$x^2+bx+1=0(2)$ và $x^2+cx+1=0(3)$.Biết rằng tích 1 nghiệm của phương trình (1) với nghiệm nào đó của (2) là nghiệm của (3).
CMR $a^2+b^2+c^2+abc=4$

[Phạm Hữu Bảo Chung]

Cho 3 phương trình
$x^2 + ax + 1 = 0 \,\,\, (1)$
$x^2 + bx + 1 = 0(2) \,\,\, (2)$
$x^2 + cx + 1 = 0(3) \,\,\, (3)$
Biết rằng tích 1 nghiệm của phương trình (1) với nghiệm nào đó của (2) là nghiệm của (3).
CMR: $a^2+b^2+c^2+abc=4$

Giải

Gọi $x_1; x_2$ lần lượt là nghiệm của các phương trình (1); (2) thỏa mãn yêu cầu đề bài. Dễ thấy $x_1; x_2 \neq 0$
Theo giả thiết, ta có: $x_1.x_2$ là nghiệm của phương trình (3).

Do $x_1$ là nghiệm của (1), suy ra:
$x_1^2 + ax_1 + 1 = 0 \Rightarrow x_1 + \dfrac{1}{x_1} = - a \,\,\,\, (1a)$

$\Leftrightarrow x_1^2 + \dfrac{1}{x_1^2} + 2 = a^2 \,\,\,\, (2a)$

Tương tự, vì $x_2$ là nghiệm của phương trình (2) nên ta có:
$\left\{\begin{array}{l}x_2 + \dfrac{1}{x_2} = -b \,\,\, (1b)\\x_2^2 + \dfrac{1}{x_2^2} + 2 = b^2 \,\,\, (2b)\end{array}\right.$

Do $x_1.x_2$ là nghiệm của phương trình (3), suy ra:

$x_1.x_2 + \dfrac{1}{x_1.x_2} = -c$

Nhân (1a) và (1b) vế theo vế, ta có:
$(x_1 + \dfrac{1}{x_1})(x_2 + \dfrac{1}{x_2}) = ab$

$\Leftrightarrow (x_1x_2 + \dfrac{1}{x_1.x_2}) + \dfrac{x_1}{x_2} + \dfrac{x_2}{x_1} = ab$

$\Rightarrow -c + \dfrac{x_1}{x_2} + \dfrac{x_2}{x_1} = ab$

$\Leftrightarrow c.(\dfrac{x_1}{x_2} + \dfrac{x_2}{x_1}) = abc + c^2 \,\,\, (4)$

Cộng (2a) và (2b) vế theo vế, ta có:
$a^2 + b^2 = x_1^2 + x_2^2 + \dfrac{1}{x_1^2} + \dfrac{1}{x_2^2} + 4\,\,\,(5)$

Cộng (4) và (5) vế theo vế, ta có:
$a^2 + b^2 + c^2 + abc = c(\dfrac{x_1}{x_2} + \dfrac{x_2}{x_1}) + x_1^2 + x_2^2 + \dfrac{1}{x_1^2} + \dfrac{1}{x_2^2} + 4 $

$a^2 + b^2 + c^2 + abc = (x_1^2 + x_2^2)(\dfrac{c}{x_1x_2} + 1 + \dfrac{1}{x_1^2x_2^2}) + 4 \,\, (6)$

Ta thấy: $(x_1.x_2)^2 + c.x_1.x_2 + 1 = 0$

$\Leftrightarrow 1 + \dfrac{c}{x_1x_2} + \dfrac{1}{x_1^2.x^2 } = 0$

Do đó, đẳng thức (6) tương đương:

$a^2 + b^2 + c^2 +abc = 4$

Đây là điều phải chứng minh. ^^!