Cho bốn số dương $a; b; c; d$ thỏa mãn $a+b+c+d=4$. Chứng minh rằng $\frac{a}{1+b^2c}+\frac{b}{1+c^2d}+\frac{c}{1+d^2a}+\frac{1}{1+a^2b}\geq 2$
Cho bốn số dương $a; b; c; d$ thỏa mãn $a+b+c+d=4$
Bắt đầu bởi luuthong123, 30-04-2012 - 10:56
#2
Đã gửi 30-04-2012 - 11:09
dungmathpro
-
- Thành viên
-
- 39 Bài viết
Binh nhất
$\frac{a}{1+b^2c}= a-\frac{ab^2c}{1+b^2c}\geq a-\frac{ab^2c}{2b\sqrt{c}}=a-\frac{ab\sqrt{c}}{2}=a-\frac{b\sqrt{a.ac}}{2}\geq a-\frac{b(a+ac)}{4}$
tương tự:
$P\geq (a+b+c+d)-\frac{1}{4}(ab+bc+cd+ad+abc+bcd+cda+dab)$
lại có:
$ab+bc+cd+ad\leq \frac{1}{4}(a+b+c+d)^2$
$abc+bcd+cda+dab\leq \frac{1}{16}(a+b+c+d)^3$
$\Rightarrow P\geq 4-\frac{1}{4}(4+4)=2$
tương tự:
$P\geq (a+b+c+d)-\frac{1}{4}(ab+bc+cd+ad+abc+bcd+cda+dab)$
lại có:
$ab+bc+cd+ad\leq \frac{1}{4}(a+b+c+d)^2$
$abc+bcd+cda+dab\leq \frac{1}{16}(a+b+c+d)^3$
$\Rightarrow P\geq 4-\frac{1}{4}(4+4)=2$
- Trần Đức Anh @@, le_hoang1995 và luuthong123 thích
#3
Đã gửi 30-04-2012 - 12:53
ninhxa
-
- Thành viên
-
- 139 Bài viết
Trung sĩ
Đặt biểu thức là P
Áp dụng Cauchy-Schwars có $P\geq \frac{(a+b+c+d)^2}{a+b+c+d+ab^2c+bc^2d+cd^2a+da^2b}$
Ta có:
$ab^2c+bc^2d+cd^2a+da^2b=bc(ab+cd)+ad(cd+ab)$
$=(ab+cd)(bc+ad)\leq \frac{(ab+cd+bc+ad)^2}{4}=\frac{\left [ (a+c)(b+d) \right ]^2}{4}\leq \frac{(a+b+c+d)^4}{64}=4$
(áp dụng bất đẳng thức phụ $(a+b)^2\geq 4ab$ )
$\Rightarrow P\geq \frac{16}{4+4}=2$
Áp dụng Cauchy-Schwars có $P\geq \frac{(a+b+c+d)^2}{a+b+c+d+ab^2c+bc^2d+cd^2a+da^2b}$
Ta có:
$ab^2c+bc^2d+cd^2a+da^2b=bc(ab+cd)+ad(cd+ab)$
$=(ab+cd)(bc+ad)\leq \frac{(ab+cd+bc+ad)^2}{4}=\frac{\left [ (a+c)(b+d) \right ]^2}{4}\leq \frac{(a+b+c+d)^4}{64}=4$
(áp dụng bất đẳng thức phụ $(a+b)^2\geq 4ab$ )
$\Rightarrow P\geq \frac{16}{4+4}=2$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ninhxa: 30-04-2012 - 12:54
- le_hoang1995 và luuthong123 thích
Thời gian là thứ khi cần thì luôn luôn thiếu.
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
