Chủ đề này có 1 trả lời

[Crystal]

Mời các em vui tí.

Bài toán:

Xét dãy số $${U_1} = 1,\,{U_2} = 1 + 2,\,\,...,\,\,{U_n} = 1 + 2 + ... + n$$.
Đặt $${A_n} = n{U_n} - \left( {{U_1} + {U_2} + ... + {U_{n - 1}}} \right)$$
Chứng minh: \[{A_n} = {1^2} + {2^2} + ... + {n^2}\]

[funcalys]

Mời các em vui tí.

Bài toán:

Xét dãy số $${U_1} = 1,\,{U_2} = 1 + 2,\,\,...,\,\,{U_n} = 1 + 2 + ... + n$$.
Đặt $${A_n} = n{U_n} - \left( {{U_1} + {U_2} + ... + {U_{n - 1}}} \right)$$
Chứng minh: \[{A_n} = {1^2} + {2^2} + ... + {n^2}\]

$U_{1}=\sum\limits_{k = 0}^1 {{k}} $
$U_{2}=\sum\limits_{k = 0}^2 {{k}} $
...
$U_{n-1}=\sum\limits_{k = 0}^{n-1} {{k}}$
$\left( {{U_1} + {U_2} + ... + {U_{n - 1}}} \right)= \sum\limits_{j = 1}^{n-1} \sum\limits_{k = 0}^{j} {{k}}=\frac{n^3-n}{6}$
$nU_{n}=n\sum\limits_{k = 0}^{n} {{k}}=\frac{n(n^2+n)}{2}$
${A_n}=n\sum\limits_{k = 0}^{n} {{k}}-\sum\limits_{j = 1}^{n-1} \sum\limits_{k = 0}^{j} {{k}}=\frac{n(n^2+n)}{2}-\frac{n^3-n}{6}=\frac{2n^3+3n^2+n}{6}$
$\Leftrightarrow {A_n} - \sum\limits_{k = 1}^{n} {{k^2}}=0$
$\Rightarrow Q.E.D$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bbvipbb: 30-04-2012 - 15:51