Chủ đề này có 5 trả lời

[25081997]

Cho tam giác ABC và 3 điểm M,N,P lần lượt nằm trên BC, CA, AB. CM:
$\frac{S_{MNP}}{S_{ABC}}= \frac{BM.CN.AP-CM.AN.BP}{AB.BC.CA}$

[Dung Dang Do]

Cho tam giác ABC và 3 điểm M,N,P lần lượt nằm trên BC, CA, AB. CM:
$\frac{S_{MNP}}{S_{ABC}}= \frac{BM.CN.AP-CM.AN.BP}{AB.BC.CA}$

Bài này hình như giống một bài trong nâng cao phát triển toán 8.

[phantomladyvskaitokid]

Cho tam giác ABC và 3 điểm M,N,P lần lượt nằm trên BC, CA, AB. CM:
$\frac{S_{MNP}}{S_{ABC}}= \frac{BM.CN.AP-CM.AN.BP}{AB.BC.CA}$

phải là thế này chứ

$\frac{S_{MNP}}{S_{ABC}}= \frac{BM.CN.AP+CM.AN.BP}{AB.BC.CA}$

[perfectstrong]

Lời giải:
Trước hết, ta có công thức tính diện tích $\vartriangle ABC$ như sau:
$S_{ABC}=\dfrac{1}{2}AB.AC.\sin BAC$
Từ đó, suy ra bổ đề sau:
Cho $\vartriangle ABC$ và 2 điểm P,Q trên AB,AC tương ứng. Khi đó $\dfrac{S_{APQ}}{S_{ABC}}=\dfrac{AP.AQ}{AB.AC}$
===================================
Đặt $BC=a;CA=b;AB=c;AP=z;BM=x;CN=y$
Áp dụng bổ đề, ta có:
\[
\begin{array}{l}
\frac{{S_{APN} }}{{S_{ABC} }} = \frac{{z\left( {b - y} \right)}}{{bc}};\frac{{S_{BPM} }}{{S_{ABC} }} = \frac{{x\left( {c - z} \right)}}{{ac}};\frac{{S_{CMN} }}{{S_{ABC} }} = \frac{{y\left( {a - x} \right)}}{{ab}} \\
\Rightarrow \frac{{S_{MNP} }}{{S_{ABC} }} = 1 - \left( {\frac{{S_{APN} }}{{S_{ABC} }} + \frac{{S_{BPM} }}{{S_{ABC} }} + \frac{{S_{CMN} }}{{S_{ABC} }}} \right) = 1 - \frac{{az\left( {b - y} \right) + bx\left( {c - z} \right) + cy\left( {a - x} \right)}}{{abc}} \\
= \frac{{abc - az\left( {b - y} \right) - bx\left( {c - z} \right) - cy\left( {a - x} \right)}}{{abc}} = \frac{{xyz + \left( {a - x} \right)\left( {b - y} \right)\left( {c - z} \right)}}{{abc}} \Rightarrow Q.E.D \\
\end{array}
\]

[BlackSelena]

Lời giải:
Trước hết, ta có công thức tính diện tích $\vartriangle ABC$ như sau:
$S_{ABC}=\dfrac{1}{2}AB.AC.\sin BAC$
Từ đó, suy ra bổ đề sau:
Cho $\vartriangle ABC$ và 2 điểm P,Q trên AB,AC tương ứng. Khi đó $\dfrac{S_{APQ}}{S_{ABC}}=\dfrac{AP.AQ}{AB.AC}$
===================================
Đặt $BC=a;CA=b;AB=c;AP=z;BM=x;CN=y$
Áp dụng bổ đề, ta có:
\[
\begin{array}{l}
\frac{{S_{APN} }}{{S_{ABC} }} = \frac{{z\left( {b - y} \right)}}{{bc}};\frac{{S_{BPM} }}{{S_{ABC} }} = \frac{{x\left( {c - z} \right)}}{{ac}};\frac{{S_{CMN} }}{{S_{ABC} }} = \frac{{y\left( {a - x} \right)}}{{ab}} \\
\Rightarrow \frac{{S_{MNP} }}{{S_{ABC} }} = 1 - \left( {\frac{{S_{APN} }}{{S_{ABC} }} + \frac{{S_{BPM} }}{{S_{ABC} }} + \frac{{S_{CMN} }}{{S_{ABC} }}} \right) = 1 - \frac{{az\left( {b - y} \right) + bx\left( {c - z} \right) + cy\left( {a - x} \right)}}{{abc}} \\
= \frac{{abc - az\left( {b - y} \right) - bx\left( {c - z} \right) - cy\left( {a - x} \right)}}{{abc}} = \frac{{xyz + \left( {a - x} \right)\left( {b - y} \right)\left( {c - z} \right)}}{{abc}} \Rightarrow Q.E.D \\
\end{array}
\]

bài này đâu tới nỗi phải dùng sin đâu anh ?

[perfectstrong]

bài này đâu tới nỗi phải dùng sin đâu anh ?

Cái bổ đề đó, có nhiều cách cm, dùng sin hoặc hạ đường cao xuống đều được.