Chủ đề này có 3 trả lời

[25081997]

Cho a,b,c là các số thực dương thỏa a+b+c=1.CMR $\frac{ab}{c+1}+\frac{bc}{a+1}+\frac{ca}{b+1}\leq \frac{1}{4}$
gợi ý: dùng $\frac{1}{X}+\frac{1}{Y}\geq \frac{4}{X+Y}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi 25081997: 05-05-2012 - 21:06

[nguyenta98]

Cho a,b,c là các số thực dương thỏa a+b+c=1.CMR $\frac{ab}{c+1}+\frac{bc}{a+1}+\frac{ca}{b+1}\leq \frac{1}{4}$
gợi ý: dùng $\frac{1}{X}+\frac{1}{Y}\geq \frac{4}{X+Y}$

Giải như sau:
$$\dfrac{ab}{c+1}=\dfrac{ab}{2c+b+a}=\dfrac{ab}{4}.\dfrac{4}{b+c+c+a}\le \dfrac{ab}{4}(\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a})$$
Tương tự cộng vào ra đpcm
Dấu $=$ khi $a=b=c=\dfrac{1}{3}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenta98: 05-05-2012 - 21:19

[Poseidont]

Cho a,b,c là các số thực dương thỏa a+b+c=1.CMR $\frac{ab}{c+1}+\frac{bc}{a+1}+\frac{ca}{b+1}\leq \frac{1}{4}$
gợi ý: dùng $\frac{1}{X}+\frac{1}{Y}\geq \frac{4}{X+Y}$

Cho a,b,c là các số thực dương thỏa a+b+c=1.CMR $\frac{ab}{c+1}+\frac{bc}{a+1}+\frac{ca}{b+1}\leq \frac{1}{4}$
gợi ý: dùng $\frac{1}{X}+\frac{1}{Y}\geq \frac{4}{X+Y}$

Bài này bạn áp dụng BĐT
$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\geq \frac{4}{x+y}\Rightarrow \frac{1}{4}(\frac{1}{x}+\frac{1}{y})\geq \frac{1}{x+y}$
$\Rightarrow \frac{ab}{c+1}= \frac{ab}{a+b+c+c}=\frac{ab}{(a+c)+(b+c)}\leq \frac{1}{4}(\frac{ab}{a+c}+\frac{ab}{b+c})$
Xây dựng tương tự bạn cộng lại sẽ được $ĐPCM$
thắc mắc gì bạn cứ hỏi trực tiếp

[Crystal]

Các bạn tham khảo 2 bài toán tương tự và xem thử có thể tìm thêm những cách giải quyết khác cho bài toán trên không nhé.

1.

Cho $x, y, z$ là 3 số dương thỏa: $xy + yz + zx = xyz$. Chứng minh:
$$\dfrac{1}{2x+y+z}+ \dfrac {1}{x+2y+z}+ \dfrac{1}{x+y+2z}\leqslant \dfrac {1}{4} $$

http://diendantoanho...l=&fromsearch=1

2.

Cho $a,b,c> 0$. Chứng minh bất đẳng thức:
$$\frac{ab}{a+3b+2c}+\frac{bc}{b+3c+2a}+\frac{ca}{c+3a+2b}\leq \frac{a+b+c}{6}$$

http://diendantoanho...ndpost&p=293217


---