Chủ đề này có 1 trả lời

[Crystal]

Bài toán. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang vuông tại $A$ và $D$ biết $AD=DC=\dfrac{AB}{2}$,mặt bên $SBC$ là tam giác đều cạnh bằng $2a$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính thể tích khối chóp $SABCD$ và khoảng cách giữa hai đường thẳng $BC$ và $SA$ theo $a$.

Trích Đề thi thử ĐH lần 3 - Trường chuyên ĐH Vinh

[hoangtrong2305]

Gọi $F$ là trung điểm $BC$

Do $\Delta SBC$ đều $\Rightarrow SF\perp BC$ (1)

Trong $\Delta ABC$, gọi $E$ là trung điểm $AB$

$\Rightarrow AC//FE$

Ta có:

$\left\{\begin{matrix} AE//DC\\ AE=DC \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow AECD$ là hình bình hành, mà:

$\left\{\begin{matrix} \widehat{DAE}=90^{o}\\ AD=DC \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow AECD$ là hình vuông

$\Rightarrow AD=EC=\frac{AB}{2}$

$\Rightarrow \Delta ACB$ vuông tại $\widehat{ACB}$

$\Rightarrow AC\perp CB$

Mà $EF//AC\Rightarrow EF\perp CB$ (2)

$(1);(2)\Rightarrow BC\perp (SEF)$

Vậy ta có:

$\left\{\begin{matrix} (ABC)\cap (SBC)=BC\\ BC\perp (SEF)\\ (SEF)\cap (ABC)=EF\\ (SEF)\cap (SBC)=FS\\ (SBC)\perp (ABC) \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow \widehat{SFE}=90^{o}$

Ta có:

$\left\{\begin{matrix} EC=\frac{AB}{2}\\ EC\perp AB \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow \Delta CEB$ vuông cân tại $\widehat{CEB}$

Mà $BC=2a\Rightarrow CE=EB=a\sqrt{2}$

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} AB=2a\sqrt{2}\\ DC=a\sqrt{2}\\ AD=a\sqrt{2} \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow S_{ABCD}=\frac{1}{2}.(AB+CD).AD=\frac{1}{2}.(2a\sqrt{2}+a\sqrt{2}).a\sqrt{2}=3a^{2}$

Ta có:

$\left\{\begin{matrix} (SBC)\perp (ABCD)\\ (SBC)\cap (ABCD)=BC\\ SF\perp BC \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow SF\perp (ABCD)$

Do $\Delta SBC$ đều cạnh $2a$ $\Rightarrow SF=a\sqrt{3}$

Vậy:

$V_{S.ABCD}=\frac{1}{3}.SF.S_{ABCD}=\frac{1}{3}.a\sqrt{3}.3a^{2}=a^{3}\sqrt{3}$




Vẽ hình bình hành $ABCI$ ($I \in CD$ và $AI//CD$)

$BC//AI\Rightarrow BC//(SAI)$

$\Rightarrow d(BC;SA)=d[C;(SAI)]$

Xét tứ diện $S.AIC$

$\left\{\begin{matrix} AI//CB\\ \widehat{ACB}=90^{o} \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow \widehat{CAI}=90^{o}$

Hình vuông $ABCD$ có cạnh $a\sqrt{2}\Rightarrow AC=2a$

$\Rightarrow S_{\Delta AIC}=\frac{1}{2}.AC.AI=\frac{1}{2}.2a.2a=2a^{2}$

$\Rightarrow V_{S.ACI}=\frac{1}{3},SF.S_{\Delta ACI}=\frac{1}{3}.a\sqrt{3}.2a^{2}=\frac{2a^{3}\sqrt{3}}{3}$

Trong $(ABCD)$, gọi $J$ là giao điểm của $AI$ và $FE$

Ta có:

$\left\{\begin{matrix} AC//FJ\\ AJ//FC\\ \widehat{ACF}=90^{o} \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow AJFC$ là hình chữ nhật

$\Rightarrow AJ\perp JF$

Mà $\Rightarrow AJ\perp FS (SF\perp (ABCD))$

$\Rightarrow AJ\perp (SJF)$

$\Rightarrow AJ\perp JS$

Ta có:

$AJ//FB\Rightarrow \Delta EJA\approx \Delta EFB$

$\Rightarrow \frac{EA}{EB}=\frac{EJ}{EF}=1$

$\Rightarrow EJ=EF$

Mà $EF=\frac{AC}{2}\Rightarrow EF=a\Rightarrow FJ=2a$

Do $\Delta SFJ$ vuông tại $\widehat{SFJ}\Rightarrow SJ=\sqrt{SF^{2}+FJ^{2}}=a\sqrt{7}$

Vậy:

$S_{\Delta SAI}=\frac{1}{2}.AI.SJ=\frac{1}{2}.2a.a\sqrt{7}=a^{2}\sqrt{7}$

Xét tứ diện $C.SAI$

$V_{C.SAI}=V_{S.CAI}=\frac{1}{3}.d[C;(SAI)].S_{\Delta SAI}$

$\Leftrightarrow \frac{2a^{3}\sqrt{3}}{3}=\frac{1}{3}.a^{2}\sqrt{7}.d[C;(SAI)$

$\Leftrightarrow d[C;(SAI)]=\frac{2a\sqrt{21}}{7}$

Vậy $\Leftrightarrow d(SA;BC)=\frac{2a\sqrt{21}}{7}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangtrong2305: 11-05-2012 - 00:19