Anh xin lỗi phải dùng vecto, có cách khác thì em post lên nhé
Lời giải:Ta có nhận xét sau:
\[
\begin{array}{l}
GA.GD = GB.GE = GC.GF = R^2 - OG^2 = \frac{{GA^2 + GB^2 + GC^2 }}{3} \\
\Rightarrow \frac{1}{{GD}} + \frac{1}{{GE}} + \frac{1}{{GF}} = 3.\frac{{GA + GB + GC}}{{GA^2 + GB^2 + GC^2 }} \\
\end{array}
\]
Mặt khác, ta có
\[
R.GA = OA.GA \ge \overrightarrow {OA} .\overrightarrow {GA} = \left( {\overrightarrow {OG} + \overrightarrow {GA} } \right)\overrightarrow {GA} = GA^2 + \overrightarrow {OG} .\overrightarrow {GA}
\]
Viết các BĐT tương tự rồi cộng lại, ta có:
\[
\begin{array}{l}
\left( {GA + GB + GC} \right)R \ge GA^2 + GB^2 + GC^2 + \overrightarrow {OG} \left( {\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} } \right) = GA^2 + GB^2 + GC^2 \\
\Rightarrow \frac{1}{{GD}} + \frac{1}{{GE}} + \frac{1}{{GF}} \ge \frac{3}{R} \\
\end{array}
\]
Giờ ta xét:
\[
\begin{array}{l}
GA^2 + GB^2 + GC^2 = \frac{{a^2 + b^2 + c^2 }}{3} \\
\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right)^2 \ge \frac{{81}}{{\left( {a + b + c} \right)^2 }} \ge \frac{{27}}{{a^2 + b^2 + c^2 }} = \frac{9}{{GA^2 + GB^2 + GC^2 }} \\
= \frac{{9\left( {GA^2 + GB^2 + GC^2 } \right)}}{{\left( {GA^2 + GB^2 + GC^2 } \right)^2 }} \ge \frac{{3\left( {GA + GB + GC} \right)^2 }}{{\left( {GA^2 + GB^2 + GC^2 } \right)^2 }} \\
\Rightarrow \frac{1}{{\sqrt 3 }}\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right) \ge \frac{{GA + GB + GC}}{{GA^2 + GB^2 + GC^2 }} = \frac{1}{{GD}} + \frac{1}{{GE}} + \frac{1}{{GF}} \\
\end{array}
\]
