Chủ đề này có 2 trả lời

[Tham Lang]

Bài toán 1.
Cho $a,b,c>0$ .Chứng minh bất đẳng thức :
$$\dfrac{9\left (a^2+b^2+c^2\right )^2}{2(a+b+c)^2}\ge \dfrac{a^3}{a+b}+\dfrac{b^3}{b+c}+\dfrac{c^3}{c+a}$$
Bài toán 2.
Cho các số không âm $a,b,c$ . Chứng minh bất đẳng thức :
$$\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}\ge 3\left (\dfrac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}\right )^{\dfrac{2}{3}}$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tham Lang: 28-10-2012 - 17:29

[wallunint]

Bài toán 2.
Cho các số không âm $a,b,c$ . Chứng minh bất đẳng thức :
$$\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}\ge 3\left (\dfrac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}\right )^{\dfrac{2}{3}}$$

Đây là bài toán khá quen thuộc với "dân Mathlinks"
Bài toán này từng là ý tưởng của hàng loạt các bài toán hoán vị dạng này

Sư dụng bổ đề: $4{{\left( x+y+z \right)}^{3}}\ge 27\left( {{x}^{2}}y+{{y}^{2}}z+{{z}^{2}}z+xyz \right)$
Và thay $x=\frac{a}{b},y=\frac{b}{c},z=\frac{c}{a}$, ta được:

\[4{{\left( \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a} \right)}^{3}}\ge 27\left( \frac{{{a}^{2}}}{bc}+\frac{{{b}^{2}}}{ca}+\frac{{{c}^{2}}}{ab}+1 \right)=27\left( \frac{{{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}}{abc}+1 \right)\]
Vậy, ta cần chứng minh:

\[\frac{{{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}}{abc}+1\ge 4{{\left( \frac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}{ab+bc+ca} \right)}^{2}}\]
Đặt $c=min{a,b,c}$, bằng SOS, ta được:
$\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-ab-bc-ca \right)\left( \frac{a+b+c}{abc}-\frac{4\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+ab+bc+ca \right)}{{{\left( ab+bc+ca \right)}^{2}}} \right)$

$\ge \left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-ab-bc-ca \right)\left( \frac{ab-{{c}^{2}}}{abc\left( a+c \right)} \right)\ge 0$

ps: Anh Huy cho em xin giải bài 1 SOS mãi ko ra

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi wallunint: 09-05-2012 - 10:16

[anh qua]

Bài toán 1.
Cho $a,b,c>0$ .Chứng minh bất đẳng thức :
$$\dfrac{9\left (a^2+b^2+c^2\right )^2}{2(a+b+c)^4}\ge \dfrac{a^3}{a+b}+\dfrac{b^3}{b+c}+\dfrac{c^3}{c+a}$$

Anh xem lại đề với! Không đồng bậc!