chứng minh rằng: $x+y+\frac{1}{xy}\geq \frac{7}{2}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi shinichi2095: 10-05-2012 - 11:18
$12x^{2}+2y^{2}=5$ chứng minh rằng: $x+y+\frac{1}{xy}\geq \frac{7}{2}$
Bắt đầu bởi shinichi2095, 10-05-2012 - 11:05
#1
Đã gửi 10-05-2012 - 11:05
shinichi2095
-
- Thành viên
-
- 76 Bài viết
Hạ sĩ
cho x,y là các số dương thỏa mãn $12x^{2}+2y^{2}=5$
chứng minh rằng: $x+y+\frac{1}{xy}\geq \frac{7}{2}$
chứng minh rằng: $x+y+\frac{1}{xy}\geq \frac{7}{2}$
#2
Đã gửi 10-05-2012 - 22:10
Scientists
-
- Thành viên
-
- 19 Bài viết
Binh nhì
Có $x+y+\frac{1}{xy}=4x+\frac{1}{xy}+y-3x$
$\geq 2\sqrt{4x.\frac{1}{xy}}+y-3x =\frac{4}{\sqrt{y}}+y-3x$
$=\frac{2}{\sqrt{y}}+\frac{2}{\sqrt{y}}+2y-y-\frac{6.x}{2}$
$\geq 3\sqrt[3]{\frac{2}{\sqrt{y}}.\frac{2}{\sqrt{y}}.2y}-\frac{y^{2}+1}{2}-\frac{6(x^{2}+\frac{1}{4})}{2}$
$=6-\frac{1}{2}-\frac{3}{4}-\frac{y^{2}+6x^{2}}{2}$
$=\frac{19}{4}-\frac{\frac{5}{2}}{2}=\frac{7}{2}$ (Đ.P.C.M)
Dấu "=" xảy ra khi $x=\frac{1}{2}; y=1$
$\geq 2\sqrt{4x.\frac{1}{xy}}+y-3x =\frac{4}{\sqrt{y}}+y-3x$
$=\frac{2}{\sqrt{y}}+\frac{2}{\sqrt{y}}+2y-y-\frac{6.x}{2}$
$\geq 3\sqrt[3]{\frac{2}{\sqrt{y}}.\frac{2}{\sqrt{y}}.2y}-\frac{y^{2}+1}{2}-\frac{6(x^{2}+\frac{1}{4})}{2}$
$=6-\frac{1}{2}-\frac{3}{4}-\frac{y^{2}+6x^{2}}{2}$
$=\frac{19}{4}-\frac{\frac{5}{2}}{2}=\frac{7}{2}$ (Đ.P.C.M)
Dấu "=" xảy ra khi $x=\frac{1}{2}; y=1$
Những gì chúng ta biết ngày hôm nay sẽ lỗi thời vào ngày hôm sau. Nếu chúng ta ngừng học thì chúng ta sẽ ngừng phát triển.
#3
Đã gửi 11-05-2012 - 17:30
le_hoang1995
-
- Thành viên
-
- 314 Bài viết
Sĩ quan
Áp dụng BĐT AM-GM cho 7 số
$VT=x+\frac{y}{2}+\frac{y}{2}+4.\frac{1}{4xy}\geq 7\sqrt[7]{\frac{xy^2}{2^{10}(xy)^4}}=\frac{7}{\sqrt[7]{2^{10}x^3y^2}}$
Ta cần chứng minh
$\sqrt[7]{2^{10}x^3y^2}\leq 2\Leftrightarrow 2^3x^3y^2\leq 1$
$\Leftrightarrow 2^6y^4x^6\leq 1\Leftrightarrow 2^4x^6(5-12x^2)^2\leq 1$
Thật vậy theo AM-GM
$8x^2.8x^2.8x^2.(5-12x^2).(5-12x^2)\leq \left ( \frac{3.8x^2+10-24x^2}{5} \right )^5=2^5$
$\Leftrightarrow 2^4x^6(5-12x^2)^2\leq 1$
ĐPCM. Dấu bằng xảy ra khi $x=\frac{1}{2};y=1$
$VT=x+\frac{y}{2}+\frac{y}{2}+4.\frac{1}{4xy}\geq 7\sqrt[7]{\frac{xy^2}{2^{10}(xy)^4}}=\frac{7}{\sqrt[7]{2^{10}x^3y^2}}$
Ta cần chứng minh
$\sqrt[7]{2^{10}x^3y^2}\leq 2\Leftrightarrow 2^3x^3y^2\leq 1$
$\Leftrightarrow 2^6y^4x^6\leq 1\Leftrightarrow 2^4x^6(5-12x^2)^2\leq 1$
Thật vậy theo AM-GM
$8x^2.8x^2.8x^2.(5-12x^2).(5-12x^2)\leq \left ( \frac{3.8x^2+10-24x^2}{5} \right )^5=2^5$
$\Leftrightarrow 2^4x^6(5-12x^2)^2\leq 1$
ĐPCM. Dấu bằng xảy ra khi $x=\frac{1}{2};y=1$
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
