${{{x^2}} \over {{y^2} + zx}} + {{{y^2}} \over {{z^2} + xy}} + {{{z^2}} \over {{x^2} + yz}} \ge {3 \over 2}$
#1
Posted 10-05-2012 - 15:15
${{{x^2}} \over {{y^2} + zx}} + {{{y^2}} \over {{z^2} + xy}} + {{{z^2}} \over {{x^2} + yz}} \ge {3 \over 2}$
GEOMETRY IS WONDERFUL !!!
Some people who are good at calculus think that they will become leading mathematicians. It's funny and stupid.
Nguyễn Lâm Thịnh
#2
Posted 10-05-2012 - 16:50
Chắc muốn một cách giải hay nên mới post bài này lên . Nhưng tui biết làm Schwarz bình thường thôi :
$$VT\geq \frac{(x+y+z)^2}{x^2+y^2+z^2+xy+yz+zx}\geq \frac{(x+y+z)^2}{(x+y+z)^2-(xy+yz+zx)}\geq \frac{(x+y+z)^2}{(x+y+z)^2-\frac{(x+y+z)^2}{3}}=\frac{3}{2}$$
Dấu bằng xảy ra khi $x=y=z$
Ơ mà sao lại cho $a,b,c>0$ =))
Chỗ $\frac{(x+y+z)^2}{(x+y+z)^2-(xy+yz+zx)}\geq \frac{(x+y+z)^2}{(x+y+z)^2-\frac{(x+y+z)^2}{3}}$ Bị nhầm dấu rồi bạn
Edited by catbuilts, 10-05-2012 - 16:51.
Hy vọng có nghiệm tình em trong đó
Đôi mắt em là phương trình bỏ ngỏ
Rèm mi cong nghiêng một góc Alpha
Anh nhìn em tưởng giới hạn đã nhoà !
Nhưng than ôi ! Toạ độ tình vụt tắt
Anh thẫn thờ về trong hiu hắt
Nhận ra mình chỉ phận nghiệm ngoại lai
Thế mà anh cứ ngỡ mình Y max
Nước mắt rơi hay đồ thị tuôn dài ?
Anh mãi chôn hồn mình trong đơn điệu
Trong không gian ảo vọng khối đa chiều
Giới hạn ấy làm sao nhoà em nhỉ ?
Suốt đời mình chỉ tiệm cận mà thôi...
#3
Posted 10-05-2012 - 17:00
$\frac{x^2}{2(y^2+xz)}\geq \frac{x^2}{2y^2+x^2+z^2}= \frac{x^2}{y^2+3}$
Thêm bớt để dùng Am-Gm $\frac{x^2}{y^2+3}+ \frac{x^2(y^2+3) }{16} \geq \frac{x^2}{2}$
với 3 số a,b,c thỏa $a+b+c=3$ thì $(a+b+c)^2=9 \geq 3(ab+bc+ca) \Rightarrow ab+bc+ca\leq 3$, do đó $x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\leq 3$
Từ đó ta có điều phải chứng minh.
Bài giải
$\left (\frac{VT}{2}+\sum \frac{x^2(y^2+3) }{16} \right )-\sum \frac{x^2(y^2+3) }{16}\geq \sum \frac{x^2}{2}-\frac{3+9}{16}\doteq \frac{3}{4}$ $\blacksquare $
Edited by catbuilts, 10-05-2012 - 17:13.
- truclamyentu, Nguyễn Hữu Huy, L Lawliet and 2 others like this
Hy vọng có nghiệm tình em trong đó
Đôi mắt em là phương trình bỏ ngỏ
Rèm mi cong nghiêng một góc Alpha
Anh nhìn em tưởng giới hạn đã nhoà !
Nhưng than ôi ! Toạ độ tình vụt tắt
Anh thẫn thờ về trong hiu hắt
Nhận ra mình chỉ phận nghiệm ngoại lai
Thế mà anh cứ ngỡ mình Y max
Nước mắt rơi hay đồ thị tuôn dài ?
Anh mãi chôn hồn mình trong đơn điệu
Trong không gian ảo vọng khối đa chiều
Giới hạn ấy làm sao nhoà em nhỉ ?
Suốt đời mình chỉ tiệm cận mà thôi...
#4
Posted 10-05-2012 - 17:07
Cho a,b,c > 0. CMR:
${{{x^2}} \over {{y^2} + zx}} + {{{y^2}} \over {{z^2} + xy}} + {{{z^2}} \over {{x^2} + yz}} \ge {3 \over 2}$
Ta có :
$\frac{{{x^2}}}{{{y^2} + zx}} + \frac{{{y^2}}}{{{z^2} + xy}} + \frac{{{z^2}}}{{{x^2} + yz}} = \frac{{{x^4}}}{{{x^2}{y^2} + z{x^3}}} + \frac{{{y^4}}}{{{y^2}{z^2} + x{y^3}}} + \frac{{{z^4}}}{{{z^2}{x^2} + y{z^3}}}$
$ \ge \frac{{{{({x^2} + {y^2} + {z^2})}^2}}}{{{x^2}{y^2} + {y^2}{z^2} + {z^2}{x^2} + x{y^3} + y{z^3} + z{x^3}}}$
Tiếp tục ta đi cm :
$\frac{{{{({x^2} + {y^2} + {z^2})}^2}}}{{{x^2}{y^2} + {y^2}{z^2} + {z^2}{x^2} + x{y^3} + y{z^3} + z{x^3}}} \ge \frac{3}{2}$
$ \Leftrightarrow 2({x^4} + {y^4} + {z^4}) + {x^2}{y^2} + {y^2}{z^2} + {z^2}{x^2} \ge 3(x{y^3} + y{z^3} + z{x^3})$
Ta có :
$\begin{array}{l}
{x^4} + {x^2}{z^2} \ge 2z{x^3}\\
{y^4} + {x^2}{y^2} \ge 2x{y^3}\\
{z^4} + {y^2}{z^2} \ge 2y{z^3}
\end{array}$
Mặt khác theo bđt hoán vị ta có :
${x^4} + {y^4} + {z^4} \ge x{y^3} + y{z^3} + z{x^3}$
Cộng 4 bđt trên suy ra điều phải cm
Chú ý : vai trò của a,b,c trong bất đẳng thức này là vai trò hoán vị (không đối xứng giữa 3 biến )nên khi áp dụng bđt hoán vị ta cần giả sử 2 trường hợp(dù cm hoàn toàn như nhau ) là : $x \ge y \ge z;z \ge y \ge x$
Edited by truclamyentu, 10-05-2012 - 17:23.
- Nguyễn Hữu Huy, Cao Xuân Huy, L Lawliet and 3 others like this
1 user(s) are reading this topic
0 members, 1 guests, 0 anonymous users