Chủ đề này có 3 trả lời

[NLT]

Cho a,b,c > 0. CMR:
${{{x^2}} \over {{y^2} + zx}} + {{{y^2}} \over {{z^2} + xy}} + {{{z^2}} \over {{x^2} + yz}} \ge {3 \over 2}$

[catbuilts]

Chắc muốn một cách giải hay nên mới post bài này lên . Nhưng tui biết làm Schwarz bình thường thôi :
$$VT\geq \frac{(x+y+z)^2}{x^2+y^2+z^2+xy+yz+zx}\geq \frac{(x+y+z)^2}{(x+y+z)^2-(xy+yz+zx)}\geq \frac{(x+y+z)^2}{(x+y+z)^2-\frac{(x+y+z)^2}{3}}=\frac{3}{2}$$
Dấu bằng xảy ra khi $x=y=z$
Ơ mà sao lại cho $a,b,c>0$ =))

Chỗ $\frac{(x+y+z)^2}{(x+y+z)^2-(xy+yz+zx)}\geq \frac{(x+y+z)^2}{(x+y+z)^2-\frac{(x+y+z)^2}{3}}$ Bị nhầm dấu rồi bạn

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi catbuilts: 10-05-2012 - 16:51

[catbuilts]

Cho $x^2+y^2+z^2=3$

$\frac{x^2}{2(y^2+xz)}\geq \frac{x^2}{2y^2+x^2+z^2}= \frac{x^2}{y^2+3}$

Thêm bớt để dùng Am-Gm $\frac{x^2}{y^2+3}+ \frac{x^2(y^2+3) }{16} \geq \frac{x^2}{2}$

với 3 số a,b,c thỏa $a+b+c=3$ thì $(a+b+c)^2=9 \geq 3(ab+bc+ca) \Rightarrow ab+bc+ca\leq 3$, do đó $x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\leq 3$

Từ đó ta có điều phải chứng minh.

Bài giải

$\left (\frac{VT}{2}+\sum \frac{x^2(y^2+3) }{16} \right )-\sum \frac{x^2(y^2+3) }{16}\geq \sum \frac{x^2}{2}-\frac{3+9}{16}\doteq \frac{3}{4}$ $\blacksquare $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi catbuilts: 10-05-2012 - 17:13

[truclamyentu]

Cho a,b,c > 0. CMR:
${{{x^2}} \over {{y^2} + zx}} + {{{y^2}} \over {{z^2} + xy}} + {{{z^2}} \over {{x^2} + yz}} \ge {3 \over 2}$

Ta có :
$\frac{{{x^2}}}{{{y^2} + zx}} + \frac{{{y^2}}}{{{z^2} + xy}} + \frac{{{z^2}}}{{{x^2} + yz}} = \frac{{{x^4}}}{{{x^2}{y^2} + z{x^3}}} + \frac{{{y^4}}}{{{y^2}{z^2} + x{y^3}}} + \frac{{{z^4}}}{{{z^2}{x^2} + y{z^3}}}$
$ \ge \frac{{{{({x^2} + {y^2} + {z^2})}^2}}}{{{x^2}{y^2} + {y^2}{z^2} + {z^2}{x^2} + x{y^3} + y{z^3} + z{x^3}}}$
Tiếp tục ta đi cm :

$\frac{{{{({x^2} + {y^2} + {z^2})}^2}}}{{{x^2}{y^2} + {y^2}{z^2} + {z^2}{x^2} + x{y^3} + y{z^3} + z{x^3}}} \ge \frac{3}{2}$
$ \Leftrightarrow 2({x^4} + {y^4} + {z^4}) + {x^2}{y^2} + {y^2}{z^2} + {z^2}{x^2} \ge 3(x{y^3} + y{z^3} + z{x^3})$
Ta có :
$\begin{array}{l}
{x^4} + {x^2}{z^2} \ge 2z{x^3}\\
{y^4} + {x^2}{y^2} \ge 2x{y^3}\\
{z^4} + {y^2}{z^2} \ge 2y{z^3}
\end{array}$
Mặt khác theo bđt hoán vị ta có :
${x^4} + {y^4} + {z^4} \ge x{y^3} + y{z^3} + z{x^3}$
Cộng 4 bđt trên suy ra điều phải cm
Chú ý : vai trò của a,b,c trong bất đẳng thức này là vai trò hoán vị (không đối xứng giữa 3 biến )nên khi áp dụng bđt hoán vị ta cần giả sử 2 trường hợp(dù cm hoàn toàn như nhau ) là : $x \ge y \ge z;z \ge y \ge x$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi truclamyentu: 10-05-2012 - 17:23