Chủ đề này có 1 trả lời

[daovantien34]

\[\left\{ \begin{array}{l}
({x^2} - 7){y^2} - 3xy = - 9\\
3{x^2}y - 12{y^2} + 9x = 0
\end{array} \right.\]

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi xusinst: 11-05-2012 - 16:36

[Phạm Hữu Bảo Chung]

$ \left\{\begin{array}{l}(x^2 - 7)y^2 - 3xy = -9\,\,\, (1)\\3x^2y - 12y^2 + 9x = 0 \,\,\, (2)\end{array}\right. \,\,\,\, (I)$

Giải

* Với y = 0; phương trình (1) của hệ tương đương:

$0 = -9$ (vô lý)

Do đó: Khi y = 0, hệ vô nghiệm.

* Với x = 0, hệ ban đầu tương đương:
$\left\{\begin{array}{l}-7y^2 = -9\\-12y^2 = 0\end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}y= \dfrac{\pm 3}{\sqrt{7}}\\y = 0\end{array}\right.$
Dễ thấy hệ trên vô nghiệm.
Vậy: Khi x = 0, hệ ban đầu cũng vô nghiệm.

* Với $x, y \neq 0$, chia 2 vế của (1) cho $y^2$, của (2) cho $3xy$.
Ta có hệ mới tương đương:
$\left\{\begin{array}{l}x^2 - 7 - \dfrac{3x}{y} = \dfrac{-9}{y^2}\\x - \dfrac{4y}{x} + \dfrac{3}{y} = 0\end{array}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}(x^2 + \dfrac{9}{y^2}) - \dfrac{3x}{y} = 7\\(x + \dfrac{3}{y}) - \dfrac{4y}{x} = 0\end{array}\right. \,\,\, (II)$
Đặt: $\left\{\begin{array}{l}x + \dfrac{3}{y} = S\\\dfrac{3x}{y} = P\end{array}\right. (S^2 \geq 4P)$
Hệ (II) tương đương:
$\left\{\begin{array}{l}S^2 - 2P - P = 7\\S = \dfrac{12}{P}\end{array}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}\dfrac{144}{P^2} - 3P = 7\\S = \dfrac{12}{P}\end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}144 - 3P^3 - 7P^2 = 0\\S = \dfrac{12}{P}\end{array}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}(P - 3)(3P^2 - 16P + 48) = 0\\S = \dfrac{12}{P}\end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}\left[\begin{array}{l} P = 3\\3P^2 - 16P + 48 = 0 (VN)\end{array}\right.\\S = \dfrac{12}{P}\end{array}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}P = 3\\S = 4\end{array}\right.$
Do đó: $x$ và $\dfrac{3}{y}$ là nghiệm của phương trình: $X^2 - 4X + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} X = 1\\X = 3\end{array}\right.$
$\Rightarrow \left[\begin{array}{l} \left\{\begin{array}{l}x = 1\\\dfrac{3}{y} = 3\end{array}\right.\\\left\{\begin{array}{l}x = 3\\\dfrac{3}{y} = 1\end{array}\right.\end{array}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} \left\{\begin{array}{l}x = 1\\y = 1\end{array}\right.\\\left\{\begin{array}{l}x =3\\y =3\end{array}\right.\end{array}\right.$
Vậy hệ ban đầu có 2 nghiệm: $(x; y) = (1; 1); (3; 3)$