Chủ đề này có 1 trả lời

[ngqhung]

Cho $a,b,c>0, a+b+c=1$
Tìm GTLN của P = $\dfrac{5b^3-a^3}{ab+3b^2} + \dfrac{5c^3-b^3}{bc+3c^2} +\dfrac{5a^3-c^3}{ac+3a^2}$

[Crystal]

Cho $a,b,c>0, a+b+c=1$
Tìm GTLN của P = $\dfrac{5b^3-a^3}{ab+3b^2} + \dfrac{5c^3-b^3}{bc+3c^2} +\dfrac{5a^3-c^3}{ac+3a^2}$

Từ ${a^3} + {b^3} \ge ab\left( {a + b} \right)$, suy ra:
\[{a^3} - 5{b^3} \ge ab\left( {a + b} \right) - 6{b^3} = b\left( {{a^2} + ab - 6{b^2}} \right) = b\left( {a + 3b} \right)\left( {a - 2b} \right)\]
\[ \Rightarrow 5{b^3} - {a^3} \le \left( {ab + 3{b^2}} \right)\left( {2b - 3} \right) \Rightarrow \frac{{5{b^3} - {a^3}}}{{ab + 3{b^2}}} \le 2b - a\]
Tương tự: \[\frac{{5{c^3} - {b^3}}}{{bc + 3{c^2}}} \le 2c - b,\,\,\,\,\,\,\frac{{5{a^3} - {c^3}}}{{ca + 3{a^2}}} \le 2a - c\]
Cộng các bất đẳng thức trên vế theo vế, ta có:
\[P = \frac{{5{b^3} - {a^3}}}{{ab + 3{b^2}}} + \frac{{5{c^3} - {b^3}}}{{bc + 3{c^2}}} + \,\,\frac{{5{a^3} - {c^3}}}{{ca + 3{a^2}}} \le a + b + c = 1\]
Vậy $\max P = 1 \Leftrightarrow a = b = c = \frac{1}{3}$