Chủ đề này có 2 trả lời

[25081997]

Cho x,y là các số thực dương thỏa mãm $4x^{2}+y^{2}=1$.Tìm GTLN, GTNN của Bt: $A=\frac{2x+3y}{2x+y+2}$

[phantomladyvskaitokid]

[Crystal]

Mình nghĩ đề bài này phải là tìm GTLN .Ta dễ dàng chứng minh được:$\frac{-1}{2} \le x \le \frac{1}{2};-1 \le y \le 1$.
Như vậy để biểu thức A có nghĩa thì $x \neq -\frac{1}{2};y \neq -1$.Dễ dàng thấy:$2x+y+2>0$ nên ta sẽ chứng minh:
$$A \le 1 \iff \frac{2x+3y}{2x+y+2} \le 1 \iff 2x+3y \le 2x+y+2 \iff y \le 1$$
(luôn đúng).
Vậy $A_{\max}=1 \iff (x;y)=(0;1)$.

-Nếu $y=1$ suy ra $x=0$ suy ra $A=1$
-Nếu $y$ khác $1$:
Ta có :$A=\frac{2x+3y}{2x+y+2}=\frac{2(x+1.5)+3(y-1)}{2(x+1.5)+(y-1)}$
Đặt $x+1.5=a:y-1=b$ ($b$ khác 0).Ta có:
$$A=\frac{2a+3b}{2a+b}$$
$$=\frac{2\frac{a}{b}+3}{2\frac{a}{b}+1}= 2+\frac{2}{2\frac{a}{b}+1}$$
Do đó A max,min khi $\frac{a}{b}$ max ,min
Đặt $\frac{a}{b}$ =m.Dễ thấy a>0 ,b<0 nen m<0.
Vì $a=mb$ và $4(a-1.5)^{2}+(b+1)^{2}=1$ nên $4(bm-1.5)^{2}+(b+1)^{2}=1$ hay $(4m^{2}+1)b^{2}-(12m-2)b+9=0$
Phương trình trên có nghiệm khi va chỉ khi $\Delta =(12m-2)^{2}-4.9.(4m^{2} +1)\geq 0$
suy ra được min,max của $m$(nhớ kết hợp với $m <0$)