Chủ đề này có 2 trả lời

[mituot03]

Cho a+2b $\leq$ $\frac{3}{2}$ . Tìm min của
a+$\frac{1}{a}$ + 2(b+$\frac{1}{b}$)

[nguyenta98]

Cho a+2b $\leq$ $\frac{3}{2}$ . Tìm min của
a+$\frac{1}{a}$ + 2(b+$\frac{1}{b}$)

Bài này của bạn phải có $a,b>0$ không thì không bao giờ có min, thí dụ bạn chỉ cần cho $a,b$ nguyên âm, $a,b$ càng âm lớn thì $a+2b\le \dfrac{3}{2}$ càng thỏa mãn mà khi $a,b$ giảm $1$ đơn vị thì giá trị của phương trình trên sẽ giảm (do chênh lệch giữa $\dfrac{1}{a},\dfrac{1}{b}$ không quá 1)
Giải như sau:
$a+\dfrac{1}{a}+2(b+\dfrac{1}{b})=(a+\dfrac{1}{4a})+\dfrac{3}{4a}+2(b+\dfrac{1}{4b}+\dfrac{3}{4b})\geq 1+2+\dfrac{3}{4a}+\dfrac{6}{4b}=3+3(\dfrac{1}{4a}+\dfrac{1}{4b}+\dfrac{1}{4b})\geq 3+3.\dfrac{9}{4(a+2b)}\geq 7,5$
Dấu $=$ khi $a=b=\dfrac{1}{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenta98: 11-05-2012 - 23:24

[catbuilts]

Bạn thiếu điều kiện a,b dương (nếu ko thì ko có min)

Dự đoán min khi $a=b=\frac{1}{2}$

$a+b+b\geq 3\sqrt[3]{ab^2}$

$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}\geq \frac{3}{\sqrt[3]{ab^2}}$

$\Rightarrow A\geq 3\sqrt[3]{ab^2}+\frac{3}{\sqrt[3]{ab^2}}=3(x+\frac{1}{x})$ (Đặt $\sqrt[3]{ab^2}=x$)

$x=\sqrt[3]{ab^2}\leq \frac{a+b+b}{3}\leq \frac{1}{2}$

Dùng điểm rơi trong Am-Gm

$A=3\left (x+\frac{1}{4x}+\frac{1}{4x}+\frac{1}{4x}+\frac{1}{4x} \right )\geq 5\sqrt[5]{\frac{1}{4^4.x^3}}\geq 5\sqrt[5]{\frac{1}{4^4.(\frac{1}{2})^3}}=\frac{15}{2}$ $\blacksquare$