$\sqrt{x+y^{2}}+\sqrt{y+z^{2}}+\sqrt{z+x^{2}}\geq 2.$
____________________________________________(Phan Thành Nam)
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ToanHocLaNiemVui: 12-05-2012 - 16:15
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ToanHocLaNiemVui: 12-05-2012 - 16:15
Đừng Sợ Hãi Khi Phải
Đối Đầu Với Một Đối Thủ Mạnh Hơn
Mà Hãy Vui Mừng Vì
Bạn Có Cơ Hội Chiến Đấu Hết Mình!
___________________________________________________________________________
Tự hào là thành viên của
VMF
Hôm nay rảnh vào box thấy bài mình post chưa ai giải cả, vậy mình post cách giải của anh Cẩn bằng PP chuyển vị, lời giải như sau:Cho các số $x,y,z$ không âm thoả mãn: $x+y+z=1$. Chứng minh BĐT sau:
$\sqrt{x+y^{2}}+\sqrt{y+z^{2}}+\sqrt{z+x^{2}}\geq 2.$
____________________________________________(Phan Thành Nam)
$\sqrt{y^{2}+z^{2}+yz+xy}+\sqrt{x^{2}+z^{2}+xz+zy}\geq \sqrt{y^{2}+z^{2}+yz+yz}+\sqrt{x^{2}+z^{2}+xz+xy}$. (1)
Bình phương 2 vế, và thu gọn, ta thấy bất đẳng thức này tương đương với:$y(x-y)(x-z)(x+y+z)\geq 0$.
(Đoạn này hơi trâu 1 chút )
Điều này có thể đạt được nếu ta g/s $x=min{x,y,z}$ hoặc $x=max{x,y,z}$. Vậy từ (1) ta có BĐT tương đương:
$\sqrt{x+y^{2}}+\sqrt{x+z^{2}}+y+z\geq 2$
$\Leftrightarrow \sqrt{x+y^{2}}+\sqrt{x+z^{2}}\geq 2x+y+z$
(Do : $x+y+z=1$ theo g/t)
AD BĐT Minkowski, ta có:
$\sqrt{x+y^{2}}+\sqrt{x+z^{2}}\geq \sqrt{(\sqrt{x}+\sqrt{x})^{2}+(y+z)^{2}}=\sqrt{4x(x+y+z)+(y+z)^{2}}=2x+y+z$.
Vậy ta có điều phải chứng minh. Dấu "=" xảy ra khi chỉ khi $x=y=z= \frac{1}{3}$ hoặc $x=1,y=z=0$ và các hoán vị tương ứng.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ToanHocLaNiemVui: 02-07-2012 - 16:25
Đừng Sợ Hãi Khi Phải
Đối Đầu Với Một Đối Thủ Mạnh Hơn
Mà Hãy Vui Mừng Vì
Bạn Có Cơ Hội Chiến Đấu Hết Mình!
___________________________________________________________________________
Tự hào là thành viên của
VMF
$Ta có:a+b=c+d;\left | a-b \right |\leqslant \left | c-d \right| \Rightarrow (a+b)^{2}-(a-b)^{2}\geqslant (c+d)^{2}-(c-d)^{2}\Rightarrow ab\geqslant cd\Rightarrow \sqrt{a}+\sqrt{b}\geqslant \sqrt{c}+\sqrt{d}$
$Ta có:VT=\sqrt{x^{2}+xy+xz+y^{2}}+\sqrt{yx+y^{2}+yz+z^{2}}+\sqrt{z+x^{2}}\geqslant x+y+\sqrt{z+y^{2}}\geqslant x+y+\sqrt{(\sqrt{z}+\sqrt{z})^{2}+(x+y^{2})}=x+y+z+1=2$
Dấu = khi x=y=z=1/3 hoặc (x,y,z)=(0,0,1) và hoán vị
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh