Chủ đề này có 1 trả lời

[davildark]

Bài 1 :Chứng minh rằng trong 17 số bất kì luôn chọn được 9 số có tổng chia hết cho 9
Bài 2 Cho bảng vuông 4x4 và các số từ 1->16
Hỏi có cách điền sao cho mỗi ô hình chữ T (như hình dưới) luôn có tổng chia hết cho 4 hay không

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi davildark: 13-05-2012 - 12:32

[nguyenta98]

Bài 1 :Chứng minh rằng trong 17 số bất kì luôn chọn được 9 số có tổng chia hết cho 9
Bài 2 Cho bảng vuông 4x4 và các số từ 1->16
Hỏi có cách điền sao cho mỗi ô hình chữ T (như hình dưới) luôn có tổng chia hết cho 4 hay không

Giải như sau:
Bài 1:
Bổ đề: Trong $5$ số nguyên dương bất kì tồn tại $3$ số có tổng chia hết cho $3$
Cm:
TH1: Nếu trong $5$ số xuất hiện cả ba kiểu dư $1,2,3$ thì có đpcm
TH2: Chỉ có $2$ hoặc $1$ trong số ba kiểu dư xuất hiện suy ra theo nguyên lý dirichlet suy ra có $3$ số có cùng kiểu dư nên tổng chia hết cho 3đpcm
Bổ đề được chứng minh

Áp dụng vào bài, ta xét $17$ số chia thành $3$ nhóm $5,5,7$ phần tử
Theo nhận xét mỗi nhóm đều có $3$ số có tổng chia hết cho $3$, sau khi chọn, trong mỗi tập chọn được $3$ số có tổng lần lượt là $3x_1,3x_2,3x_3$
Sau khi chọn còn $17-9=8$ số
Áp dụng nhận xét tiếp suy ra trong $8$ số trên chọn được $3$ số tổng là $3x_4$
Còn $8-3=5$ số theo nhận xét chọn được $3$ số tổng là $3x_5$
Trong $5$ số $x_1,x_2,...,x_5$ có $3$ số tổng chia hết cho $3$ giả sử $x_1+x_2+x_3 \vdots 3$
Khi đó chọn được $9$ số tổng chia hết cho $3$ vì $3(x_1+x_2+x_3) \vdots 9$ đpcm

Chú ý bài này nếu thay $17$ thành $16$ thì không còn đúng
Vì nếu $16$ số ta chọn các kiểu dư của $16$ số lần lượt là
$$(1,-1,1,-1,...,1,-1)$$
Với $8$ chữ số $1$, $8$ chữ số $-1$
Khi đó tổng $9$ số bất kì sẽ tối đa là $1+1+1+...+1+-1=7$ (với $8$ chữ số $1$)
Tối thiểu là $-1+-1+...+-1+1=-7$ (với $8$ chữ số $-1$)
Khi đó tổng $9$ số bất kì tối thiểu $-7,7$ như vậy tổng chia hết cho $9$ khi và chỉ khi tổng đó bằng $0$
Nhưng đây là điểu không thể vì trong $9$ số giả sử có $k$ số $1$, $q$ số $-1$
Khi đó $k-q=0$ như vậy $k+q$ chẵn
Như vậy vô lí vì $k+q=9$ lẻ
Do đó $16$ số thì không thỏa mãn

Bài 2:
Ta có nhận xét sau:

Dễ dàng chứng minh hai ô cách nhau ô giữa theo chiều dọc có cùng số dư khi chia $4$ nên gọi hai ô đó là $X$
Tương tự gọi $2$ ô hàng ngang là $Y$ ô giữa để trống
Khi đó áp dụng vào bài: (các ô có chứa số có cùng số dư sẽ đánh các kí tự giống nhau, và các kí tự đó chính là số dư khi một số chia $4$)

Do nhận xét nên ta có điền như hình trên
Nhưng ta xét các ô tô đậm trong hình trên (với ô ở góc cuối cùng phía dưới bên phải tô màu xanh mang giá trị là $?$
Nhận thấy $T+Z+Y+? \vdots 4$ và $T+Z+X+? \vdots 4$ suy ra $T+Z+Y+? \equiv T+Z+X+? \pmod{4} \rightarrow X \equiv Y \pmod{4}$
Nhưng vì $X,Y,Z,T$ đều là các số dư chia $4$ nên do đó $X \equiv Y \pmod{4} \leftrightarrow X=Y$
Chứng minh tương tự $T=Z$
Giờ ta có hình mới sau đây:

Nhận thấy tổng các số ở các ô xanh lá cây chia hết cho $4$ và tổng các số ở ô cam cũng chia hết cho $4$
Do đo $A$ có giá trị là $X$
Tương Tự $B=Z$, $C=X$, $D=Z$
Do đó vô lý vì các số từ $1$ đến $16$ có $4$ kiểu dư $0,1,2,3$ mà ở cách chúng ta chứng minh trên chỉ có $2$ kiểu dư $X,Z$ vô lý
Vậy nên không thể điền được

P/S: Chú ý cách này có thể tổng quát
Vẫn bằng cái nhận xét như trên suy ra các ô cách nhau đúng 1 ô có số dư khi chia $4$ bằng nhau, sau đó lại xét với các cái ô ở góc cuối cùng tô màu xanh như trên dành cho mọi người làm thử nhé, hãy bắt đầu bằng ô $8.8,12.12,...$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenta98: 14-05-2012 - 20:07