Chủ đề này có 3 trả lời

[mango]

Cho 3 số a,b,c>0 thỏa: $\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2}=\sqrt{2011}$.
CMR:
$\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{a+c}+\frac{c^2}{b+a}\geq \frac{1}{2}\sqrt{\frac{2011}{2}}$

[NLT]

Cho 3 số a,b,c>0 thỏa: $\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2}=\sqrt{2011}$.
CMR:
$\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{a+c}+\frac{c^2}{b+a}\geq \frac{1}{2}\sqrt{\frac{2011}{2}}$

SOLUTION:
Từ giả thiết, ta áp dụng Cauchy-Schwarz:
${\left( {\sum {\sqrt {{a^2} + {b^2}} } } \right)^2} \le 3\sum {\left( {{a^2} + {b^2}} \right)} \Rightarrow \sum {{a^2}} \ge \frac{{2011}}{6}$
Áp dụng Cauchy-Schwarz:
${\left( {b + c} \right)^2} \le 2\left( {{b^2} + {c^2}} \right) \Rightarrow b + c \le \sqrt 2 .\sqrt {{b^2} + {c^2}} $
$\Rightarrow \frac{{{a^2}}}{{b + c}} \ge \frac{1}{{\sqrt 2 }}.\frac{{{a^2}}}{{\sqrt {{b^2} + {c^2}} }}$
Xây dựng 2 bđt tương tự rồi cộng vế theo vế, ta được:
$ \Rightarrow \sum {\frac{{{a^2}}}{{b + c}}} \ge \frac{1}{{\sqrt 2 }}.\sum {\frac{{{a^2}}}{{\sqrt {{b^2} + {c^2}} }}} $ (1)
Lúc này áp dụng Chebyshev cho 2 dãy đơn điệu tăng và Cauchy-Schwarz dạng Engel, ta có:
$3.\sum {\frac{{{a^2}}}{{\sqrt {{b^2} + {c^2}} }} \ge \left( {\sum {{a^2}} } \right)\left( {\sum {\frac{1}{{\sqrt {{b^2} + {c^2}} }}} } \right)} \ge \frac{{2011}}{6}.\frac{9}{{\sum {\sqrt {{b^2} + {c^2}} } }} = \frac{3}{2}\sqrt {2011} $
Suy ra: $\sum {\frac{{{a^2}}}{{\sqrt {{b^2} + {c^2}} }}} \ge \frac{1}{2}\sqrt {2011} $(2)
Từ (1),(2) => Q.E.D
Đẳng thức xảy ra khi a=b=c=$\sqrt {\frac{{2011}}{{18}}} $ Phép cm hoàn tất.
--------------------
P/S: Ai có cách khác thì post lên nhé !
--------------------

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Lam Thinh: 15-05-2012 - 11:13

[Tru09]

SOLUTION:
Áp dụng Cauchy-Schwarz:
${\left( {b + c} \right)^2} \le 2\left( {{b^2} + {c^2}} \right) \Rightarrow b + c \le \sqrt 2 .\sqrt {{b^2} + {c^2}} $
$\Rightarrow \frac{{{a^2}}}{{b + c}} \ge \frac{1}{{\sqrt 2 }}.\frac{{{a^2}}}{{\sqrt {{b^2} + {c^2}} }}$
Xây dựng 2 bđt tương tự rồi cộng vế theo vế, ta được:
$ \Rightarrow \sum {\frac{{{a^2}}}{{b + c}}} \ge \frac{1}{{\sqrt 2 }}.\sum {\frac{{{a^2}}}{{\sqrt {{b^2} + {c^2}} }}} $ (1)
Lúc này áp dụng Chebyshev cho 2 dãy đơn điệu tăng và Cauchy-Schwarz dạng Engel, ta có:
$3.\sum {\frac{{{a^2}}}{{\sqrt {{b^2} + {c^2}} }} \ge \left( {\sum {{a^2}} } \right)\left( {\sum {\frac{1}{{\sqrt {{b^2} + {c^2}} }}} } \right)} \ge \frac{{2011}}{6}.\frac{9}{{\sum {\sqrt {{b^2} + {c^2}} } }} = \frac{3}{2}\sqrt {2011} $
Suy ra: $\sum {\frac{{{a^2}}}{{\sqrt {{b^2} + {c^2}} }}} \ge \frac{1}{2}\sqrt {2011} $(2)
Từ (1),(2) => Q.E.D
Đẳng thức xảy ra khi a=b=c=$\sqrt {\frac{{2011}}{{18}}} $ Phép cm hoàn tất.
--------------------
P/S: Ai có cách khác thì post lên nhé !
--------------------

$\sqrt {{b^2} + {c^2}} + \sqrt {{a^2} + {c^2}} + \sqrt {{b^2} + {a^2}}$ (1)
$\frac {a^{2}}{b+c} +\frac{b^{2}}{a+c} +\frac{c^{2}}{b+a}$ (2)
Cũng như anh kia :${\left( {b + c} \right)^2} \le 2\left( {{b^2} + {c^2}} \right) \Rightarrow b + c \le \sqrt 2 .\sqrt {{b^2} + {c^2}} $
cmtt =>${\left( {a + c} \right)^2} \le 2\left( {{a^2} + {c^2}} \right) \Rightarrow a + c \le \sqrt 2 .\sqrt {{a^2} + {c^2}} $
cmtt =>${\left( {b + a} \right)^2} \le 2\left( {{b^2} + {a^2}} \right) \Rightarrow b + a \le \sqrt 2 .\sqrt {{b^2} + {a^2}} $
=> $2(a+b+c) \le \sqrt 2 .\sqrt {{b^2} + {c^2}} + \sqrt 2 .\sqrt {{a^2} + {c^2}} +\sqrt 2 .\sqrt {{b^2} + {a^2}}$
=>$2(a+b+c) \le \sqrt 2 . \sqrt{2011}$ (3)
=>$ {a+b+c} \le \frac {\sqrt {2011}}{\sqrt{2}}$
=>$ (a+b+c)^{2} \le \frac{2011}{2}$(4)
Ta có $(2) \ge \frac{(a+b+c)^{2}}{2(a+b+c)}$
Cùng với (3) và (4) => $(2) \ge \frac{1}{2} .\sqrt {\frac {2011}{2}}$ (DPCM)
Dấu "=" sảy ra<=> a=b=c=$\sqrt {\frac{{2011}}{{18}}} $
THanks ban Nguyen Lam THinh

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tru09: 15-05-2012 - 11:51

[NLT]

$\sqrt {{b^2} + {c^2}} + \sqrt {{a^2} + {c^2}} + \sqrt {{b^2} + {a^2}}$ (1)
$\frac {a^{2}}{b+c} +\frac{b^{2}}{a+c} +\frac{c^{2}}{b+a}$ (2)
Cũng như anh kia :${\left( {b + c} \right)^2} \le 2\left( {{b^2} + {c^2}} \right) \Rightarrow b + c \le \sqrt 2 .\sqrt {{b^2} + {c^2}} $
cmtt =>${\left( {a + c} \right)^2} \le 2\left( {{a^2} + {c^2}} \right) \Rightarrow a + c \le \sqrt 2 .\sqrt {{a^2} + {c^2}} $
cmtt =>${\left( {b + a} \right)^2} \le 2\left( {{b^2} + {a^2}} \right) \Rightarrow b + a \le \sqrt 2 .\sqrt {{b^2} + {a^2}} $
=> $2(a+b+c) \le \sqrt 2 .\sqrt {{b^2} + {c^2}} + \sqrt 2 .\sqrt {{a^2} + {c^2}} +\sqrt 2 .\sqrt {{b^2} + {a^2}}$
=>$2(a+b+c) \le \sqrt 2 . \sqrt{2011}$
=>$ \frac{a+b+c}{2} \le \frac {\sqrt {2011}}{\sqrt{8}}$
=>$ \frac{a+b+c}{2} \le \frac{1}{2} .\sqrt {\frac{2011}{2}}$(3)
Ta có $(2) \ge \frac{(a+b+c)^{2}}{2(a+b+c)}$
=> $(2) \ge \frac{a+b+c}{2}$
Cùng với (3) => dpcm
Dấu "=" sảy ra<=> a=b=c=$\sqrt {\frac{{2011}}{{18}}} $

P/S: Nhầm rồi kìa, không đánh giá được đâu bạn ơi ! Nếu làm như bạn thì khổ gì tôi phải dùng tới Chebyshel và chứng minh dài dòng thế làm gì hả bạn?
----------