Chủ đề này có 8 trả lời

[nhantd97]

Cho x, y là các số nguyên khác 1 thỏa mãn $\frac{x^2-1}{y+1}+\frac{y^2-1}{x+1}$ là số nguyên. Chứng minh rằng $x^2 y^{22} -1 \vdots x+1$

[Crystal]

Cho x, y là các số nguyên khác 1 thỏa mãn $\frac{x^2-1}{y+1}+\frac{y^2-1}{x+1}$ là số nguyên. Chứng minh rằng $x^2 y^{22} -1 \vdots x+1$

Bài này tương tự bài VMO 2007 chăng?

[VMO 2007] Cho $x \ne - 1;y \ne - 1$ là các số nguyên thỏa mãn $\frac{{{x^4} - 1}}{{y + 1}} + \frac{{{y^4} - 1}}{{x + 1}}$ là số nguyên. Chứng minh rằng ${x^4}{y^{44}} - 1$ chia hết cho $x+1$.

---

[tson1997]

Hì,mình mần ra được 1 cách này (k ngờ lại lm đc bài thi VMO ) )
Đặt $\frac{y^2-1}{x+1} = \frac{m}{n}$ với m;n tự nhiên và (m;n)=1
Thì ta có: $n(y^2-1)=m(x+1) \Rightarrow n(y^2-1)(x-1)=m(x^2-1) \Leftrightarrow \frac{x^2-1}{y+1}=\frac{n(y-1)(x+1)}{m}$
Theo bài ra,ta có:
$A=\frac{m}{n}+\frac{n(y-1)(x+1)}{m} =\frac{m^2+n^2(y-1)(x+1)}{mn} \in Z \Rightarrow m^2+n^2(y-1)(x+1) \vdots n \Leftrightarrow m^2 \vdots n$(1)
Tuy nhiên, (m;n) =1 nên từ (1) ta suy ra được n=1
n=1 thì $\frac{y^2-1}{x+1} \in Z $ hay $y^2-1 \vdots x+1$
Ta có:
$x^2y^{22}-1=x^2(y^22-1)+(x^2-1) \vdots x+1$
(vì $y^{22}-1 \vdots y^2-1 \vdots x+1$)

Vậy ta đc đpcm





@nguyenta98: Thật vậy ư? Đây chỉ là hệ quả của bài này http://diendantoanho...showtopic=70776, Bài số 2b

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenta98: 15-05-2012 - 18:14

[NLT]

Bài này tương tự bài VMO 2007 chăng?

[VMO 2007] Cho $x \ne - 1;y \ne - 1$ là các số nguyên thỏa mãn $\frac{{{x^4} - 1}}{{y + 1}} + \frac{{{y^4} - 1}}{{x + 1}}$ là số nguyên. Chứng minh rằng ${x^4}{y^{44}} - 1$ chia hết cho $x+1$.

---

Anh Thành - $xusinst$ - giải giúp bài VMO 2007 được không ạ ?
--------------

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Lam Thinh: 15-05-2012 - 22:12

[Crystal]

Anh Thành - $xusinst$ - giải giúp bài VMO 2007 được không ạ ?
--------------

Đáp án có đầy em à. Anh không đủ trình để chơi VMO

---

[NLT]

Đáp án có đầy em à. Anh không đủ trình để chơi VMO

---

Anh đưa link đáp án cho em xem với, em search mà ko có
-----------------

[tson1997]

Anh Thành - $xusinst$ - giải giúp bài VMO 2007 được không ạ ?
--------------

sao ko giải tương tự bài kia được hả bạn ??
Cũng là hằng đẳng thức mà : $x^4-1 = (x-1)(x+1)(x^2-1)$

[NLT]

sao ko giải tương tự bài kia được hả bạn ??
Cũng là hằng đẳng thức mà : $x^4-1 = (x-1)(x+1)(x^2-1)$

ko, mình giải theo cách của bạn đc rồi, mình muốn thêm cách nữa bạn à, mình nghĩ có thể đáp án cũng có thể có cách khác, hì, phong phú thêm cách giải cho một bài toán đó mà
--------------

[Crystal]

SOLUTION VMO 2007