Chủ đề này có 1 trả lời

[hola0905]

HÌnh vuông ABCD cạnh a,M tùy ý trên AB( khác A,B).MC cắt BD tại P,MD cắt AC tại Q.Tìm GTLN của diện tích tam giác MPQ và GTNN của diện tích tứ giác CPQD khi M di động trên AB.

[BlackSelena]

Bài làm:
~ Ta dễ dàng tính được
$S_{MDC}$ = $\frac{a^{2}}{2}$
Dễ dàng c/m: $\frac{S_{MPQ}}{S_{MCD}}=\frac{MQ}{MD}.\frac{MP}{MC}$
mà $\frac{MP}{MC} = \frac{MB}{MB + a}$
$\frac{MQ}{MD} = \frac{MA}{MA + a}$
$\Rightarrow \frac{MQ}{MD}.\frac{MP}{MC} = \frac{MB.MA}{(MA+a)(MB+a)}$
Xét:
$\frac{(MA+a)(MB+a)}{MB.MA}$
$= 1 + \frac {a(MA+MB) + a^{2}}{MA.MB}$
Áp dụng BĐT AM-GM, ta có:
\frac{a.(MA+MB)}{MA.MB} + \frac{a^{2}}{MA.MB} \geq \frac{2a}{\sqrt{MA+MB}} + \frac a^{2}{MA.MB}
$\geq \frac{4a}{MA+MB} + \frac{4a^{2}}{MA+MB^{2}} = \frac{4a}{a} + \frac{4a^{2}}{a^{2}}= 8$
Vậy $1 + \frac {a(MA+MB) + a^{2}}{MA.MB} \geq 1 + 8 = 9$
$\Rightarrow \frac{MQ}{MD}.\frac{MP}{MC} \leq \frac{1}{9}$
$\Rightarrow \triangle MPQ \leq \frac{a^{2}}{18}$

P/s: Cái chỗ latex trên kia bạn chịu khó paste vào "Latex Editor" nhé. Khi mình thêm dấu $ thì nó hiện ra \display j` j` đó ấy. MOD fix dùm e nếu được
Vậy min $\triangle MPQ = \frac{a^{2}}{18}$
$S_{CPQD}$ max $\Leftrightarrow S_{MPQ} min$
$\Rightarrow S_{CPQD} max = \frac{a^{2}}{2} - \frac{a^{2}}{18} = \frac{4a^{2}}{9}$

Dấu "=" xảy ra $\Rightarrow MA = MB$. M là trung điểm của AB

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BlackSelena: 15-05-2012 - 19:42