Chủ đề này có 4 trả lời

[vietnamesegauss89]

Cho pt nghiem nguyen Z^2=(X^2-1)(Y^2-1)+n.CMR:
a)pt hoac vo so nghiem hoac vo nghiem
b)ton tai vo so n nguyen duong de pt co vo so nghiem,vo nghiem

[vietnamesegauss89]

mình post thiếu điều kiên :nghiêm (x,y,z)thoa mãn x,y,z>1
Bài trên là mình mơ rông từ môt bài dư tuyên IMO1981 có nôi dung
"cho pt nghiêm nguyên Z^2=(X^2-1)(Y^2-1)+n.Pt có nghiêm không nếu:
a)n=1981 b)n=1984 c)n=1985

[shinichikudo]

Ai làm đươc bài này post lên cho moi người cùng xem

[lehoan]

Trước hết ta chứng minh
Bổ đề
Nếu phương trình http://dientuvietnam...etex.cgi?(x;y;z) thì đặt http://dientuvietnam...etex.cgi?t=xy-z ta có

http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?t^2-2txy+y^2+x^2-1=n.

suy ra http://dientuvietnam...txy u^2=n 1-x^2 . Áp dụng bổ đề ta có có vô số nghiệm.

b) xét http://dientuvietnam...etex.cgi?n=4k 2 thì phương trình vô nghiệm.

Xét http://dientuvietnam...tex.cgi?n=k^2-9 thì có nghiệm http://dientuvietnam...etex.cgi?(2;2;k) suy ra theo a) thì có vô số nghiệm

[vietnamesegauss89]

Còn 1 cách khác làdùng pt Pell
theo mình nghĩ ngay ở câu a) ta cũng phải chỉ ra n để pt vô nghiêm,vô số nghiêm
câu b)chỉ cần n có dang a^2+b^2-1 với a,b N sau đó chon x=a,y=b,z=ab
pt có nghiêm pt vô số nghiêm