cho a,b,c là số dương, CM:
$\frac{a^{2}b}{ab^{2}+1}+\frac{b^{2}c}{bc^{2}+1}+\frac{c^{2}a}{ca^{2}+1} \geqslant \frac{3abc}{1+abc}$
cho 3(ab+bc+ca)=1 ,a,b,c >0. CM:
$\frac{a^{2}}{(a+b)(a+c)} +\frac{b^{2}}{(b+c)(b+a)}+\frac{c^{2}}{(c+a)(c+a)}\geq \frac{3}{4}$
\[\sum {\frac{{{a^2}}}{{\left( {a + b} \right)\left( {a + c} \right)}} \geqslant \frac{3}{4}} \]
Bắt đầu bởi nhoxboy2010, 18-05-2012 - 08:16
#2
Đã gửi 23-05-2012 - 12:49
caovannct
-
- Thành viên
-
- 529 Bài viết
Thiếu úy
Theo BDT C-S ta có: \[\frac{{{a^2}}}{{(a + b)(a + c)}} + \frac{{{b^2}}}{{(b + c)(b + a)}} + \frac{{{c^2}}}{{(c + a)(c + a)}} \ge \frac{{{{(\sum a )}^2}}}{{\sum {{a^2}} + 3\sum a b}} = \frac{{{{(\sum a )}^2}}}{{\sum {{a^2}} + 1}}\]cho 3(ab+bc+ca)=1 ,a,b,c >0. CM:
$\frac{a^{2}}{(a+b)(a+c)} +\frac{b^{2}}{(b+c)(b+a)}+\frac{c^{2}}{(c+a)(c+a)}\geq \frac{3}{4}$
Như vậy BDT cần chứng minh quy về cm bdt:
\[4{(\sum a )^2} \ge 3\sum {{a^2}} + 3 \Leftrightarrow 4\sum {{a^2}} + 8\sum a b \ge 3\sum {{a^2}} + 3 \Leftrightarrow \sum {{a^2}} + \frac{8}{3} \ge 3\]
Mà \[\sum {{a^2}} \ge \sum a b = \frac{1}{3}\]
Từ đó suy tra điều phải chứng minh.
1. Gõ $\LaTeX$ cẩn thận hơn nhé bạn.
2. Trích dẫn một phần để tránh làm dài trang, gây mất thẩm mĩ.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nsthanh: 23-05-2012 - 13:07
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
