Chủ đề này có 7 trả lời

[danganhaaaa]

làm hộ tớ mấy bài nhé!!!
1,cho $a,b,c\geq 0$ thỏa mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$
tìm min $A=\frac{a^{3}}{1+b^{2}}+\frac{b^{3}}{1+c^{2}}+\frac{c^{3}}{1+a^{2}}$
2,cho x,y,z>0 tm x(x-1)+y(y-1)+z(z-1)$\leq \frac{4}{3}$
tìm min A=$\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 18-05-2012 - 15:41

[Ispectorgadget]

Bài 2: Trước hết ta cm BĐT sau với $x,y,z>0$ thỏa $x(x-1)+y(y-1)+z(z-1)\leq \frac{4}{3}$ ta có $a+b+c\leq 4$
Chứng minh: $$\frac{4}{3}\geq a(a-1)+b(b-1)+c(c-1)=a^2+b^2+c^2-(a+b+c)=\frac{1}{3}(1+1+1)(a^2+b^2+c^2)-a-b-c\geq \frac{1}{3}(a+b+c)^2-(a+b+c)$$
$$\Rightarrow (a+b+c)^2-3(a+b+c)-4\leq 0 \Leftrightarrow [(a+b+c)+1][a+b+c-4]\leq 0\Leftrightarrow a+b+c\leq 4$$
Áp dụng bất đẳng thức trên
$$A\geq \frac{9}{x+y+z+3}\geq \frac{9}{4+3}=\frac{9}{7}$$

[Tru09]

Bài 2: Trước hết ta cm BĐT sau với $x,y,z>0$ thỏa $x(x-1)+y(y-1)+z(z-1)\leq \frac{4}{3}$ ta có $a+b+c\leq 4$
Chứng minh: $$\frac{4}{3}\geq a(a-1)+b(b-1)+c(c-1)=a^2+b^2+c^2-(a+b+c)=\frac{1}{3}(1+1+1)(a^2+b^2+c^2)-a-b-c\geq \frac{1}{3}(a+b+c)^2-(a+b+c)$$
$$\Rightarrow (a+b+c)^2-3(a+b+c)-4\leq 0 \Leftrightarrow [(a+b+c)+1][a+b+c-4]\leq 0\Leftrightarrow a+b+c\leq 4$$
Áp dụng bất đẳng thức trên
$$A\geq \frac{9}{x+y+z+3}\geq \frac{9}{4+3}=\frac{9}{7}$$

Anh ơi , dấu "=" sảy ra khi nào thế

[Ispectorgadget]

Dấu bằng xảy ra khi các biến bằng nhau và bằng $\frac{4}{3}$

[nthoangcute]

làm hộ tớ mấy bài nhé!!!
1,cho $a,b,c\geq 0$ thỏa mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$
tìm min $A=\frac{a^{3}}{1+b^{2}}+\frac{b^{3}}{1+c^{2}}+\frac{c^{3}}{1+a^{2}}$
2,cho x,y,z>0 tm x(x-1)+y(y-1)+z(z-1)$\leq \frac{4}{3}$
tìm min A=$\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}$

Thông cảm cho Đăng Anh, nó chép sao đề !!! (Lúc thầy Ý đọc không chép à)
Đề phải là:
Cho $a,b,c\geq 0$ thỏa mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$
Tìm min $A=\frac{a^{3}}{\sqrt{1+b^{2}}}+\frac{b^{3}}{\sqrt{1+c^{2}}}+\frac{c^{3}}{\sqrt{1+a^{2}}}$

[Didier]

Thông cảm cho Đăng Anh, nó chép sao đề !!! (Lúc thầy Ý đọc không chép à)
Đề phải là:
Cho $a,b,c\geq 0$ thỏa mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$
Tìm min $A=\frac{a^{3}}{\sqrt{1+b^{2}}}+\frac{b^{3}}{\sqrt{1+c^{2}}}+\frac{c^{3}}{\sqrt{1+a^{2}}}$

Đề lúc náy cũng có thể giải được mà
Đặt A=$A=\frac{a^{3}}{\sqrt{1+b^{2}}}+\frac{b^{3}}{\sqrt{1+c^{2}}}+\frac{c^{3}}{\sqrt{1+a^{2}}}$ Áp dụng BĐT Holder
$A(a\sqrt{1+b^{2}}+b\sqrt{1+c^{2}}+c\sqrt{1+a^{2}})(a^{2}+b^{2}+c^{2})\geq (a^{2}+b^{2}+c^{2})^{3}=27$
$\Leftrightarrow A\geq \frac{9}{(a\sqrt{1+b^{2}}+b\sqrt{1+c^{2}}+c\sqrt{1+a^{2}})}\geq \frac{9}{\sqrt{(a^{2}+b^{2}+c^{2})$$(3+a^{2}+b^{2}+c^{2})}}=\frac{3}{\sqrt{2}}$
Dấu bằng $a=b=c=1$

[mituot03]

BDT holder có dang tổng quat là gì vậy?

[Crystal]

BDT holder có dang tổng quat là gì vậy?

Tham khảo tại: http://diendantoanho...showtopic=29066

---