Chủ đề này có 2 trả lời

[davildark]

Bài 1: Cho các số thực a b c d sao cho $a \le b \le c \le d$ và a+d=b+c
Chứng minh rằng: $bc\ge ad$
Bài 2: cho x y là các số thực sao cho x+y , $x^2+y^2$, $x^4+y^4$ nguyên. Chứng minh rằng: $x^3+y^3$ nguyên

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Lam Thinh: 19-05-2012 - 07:19

[L Lawliet]

mình viết hơi tắt đề dúng đây
Cho các số thực x y sao cho x+y $x^2+y^2$ $x^3+y^3$ là các số nguyên
Cm $x^3+y^3$ cũng là 1 số nguyên

Lại đánh sai đề kìa , câu này là đề thi trường nào quên mất rồi
Đề đúng: Cho các số thức $x,y$ sao cho $x+y$, $x^2+y^2$ và $x^4+y^4$ nguyên, prove: $x^3+y^3$ nguyên.
Ta có $x^3+y^3=(x+y)(x^2+y^2)-xy(x+y)$ nên ta cần chứng minh $xy$ nguyên.
Ta lại có:
$x^2+y^2=(x+y)^2-2xy$ nguyên nên $2xy$ nguyên.
$x^4+y^4=(x^2+y^2)^2-2x^2y^2$ nguyên nên $2x^2y^2$ nguyên.
Ta có $(2xy)^2=4x^2y^2$ nguyên và $2x^2y^2$ nguyên nên $4x^2y^2$ chia hết cho 2 nên $x^2y^2$ chia hết cho 2 suy ra $xy$ chia hết cho 2.
(ở đây ta áp dụng định lý: Nếu số nguyên $a$ chia hết cho tích $m.n$ thì $a$ chia hết cho $m$ và $n$)
Vậy ta có đpcm

Bài này trong đề thi Chuyên toán TPHCM 2008-2009 -> đây là câu cho điểm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 19-05-2012 - 10:24

[nguyenta98]

Bài 1: Cho các số thực a b c d sao cho $a \le b \le c \le d$ và a+d=b+c
Chứng minh rằng: $bc\ge ad$

Giải như sau:
Bài 1: Từ giả thiết $a+d=b+c$ hay $b=a+d-c$ và $a=b+c-d$
Do đó $$bc\geq ad \leftrightarrow (a+d-c)c\geq (b+c-d)d$$
$$\leftrightarrow ac+dc-c^2\geq bd+cd-d^2$$
$$\leftrightarrow ac+d^2\geq bd+c^2 \leftrightarrow d^2-bd\geq c^2-ac$$
$$\leftrightarrow d(d-b)\geq c(c-a) <1>$$
Từ $a+d=b+c \rightarrow d-b=c-a$ thay vào $<1> \rightarrow d(c-a)\geq c(c-a)$ đây là điều hiển nhiên do $d\geq c$
Dâu $"=" \leftrightarrow d=c \rightarrow a=b$