CMR : $x+2y+z\geq 4(1-x)(1-y)(1-z)$
#1
Đã gửi 19-05-2012 - 10:31
CMR : $x+2y+z\geq 4(1-x)(1-y)(1-z)$
#2
Đã gửi 19-05-2012 - 12:35
Đặt x+y=a; y+z=b; z+x=c ta được:Cho $x,y,z$ là các số thực không âm thỏa $x+y+z=1$
CMR : $x+2y+z\geq 4(1-x)(1-y)(1-z)$
a+b+c=2 và BĐT cần chứng minh tương đương với:
$a+b\geq 4abc$
$\Leftrightarrow 2-c-4abc\geq 0$ (*)
ta có:
$4ab \leq (a+b)^{2}$ nên
$VT(*)\geq 2-c-(2-c)^{2}.c$
Cần chứng minh:
$2-c-(2-c)^{2}.c\geq 0$
$\Leftrightarrow (c-1)^{2}(2-c)\geq 0$
BĐT này đúng do 2-c>0
Dấu bằng xảy ra khi $x=z=\frac{1}{2}$ và y=0
- CD13, le_hoang1995, cold_noodles97 và 3 người khác yêu thích
#3
Đã gửi 19-05-2012 - 13:51
đâu cần phải làm như vậy !Cho $x,y,z$ là các số thực không âm thỏa $x+y+z=1$
CMR : $x+2y+z\geq 4(1-x)(1-y)(1-z)$
ta có 4(1-z)(1-x)$\leq$$(2-x-z)^{2}$=$(1+y)^{2}$
suy ra 4(1-x)(1-y)(1-z)$\leq$$(1-y)(1+y)^{2}$=$(1-y^{2}).(1+y)\leq 1+y=x+2y+z$
- CD13, le_hoang1995, cold_noodles97 và 9 người khác yêu thích
#4
Đã gửi 22-10-2013 - 19:32
cac bac tham khao xem bai cua mih nhak
Áp dụng BĐT cô-si cho 2 số 1-X và 1-z ta được:
$\frac{1-x+1-z}{2}\geq \sqrt{(1-x)(1-z)}$
$\Leftrightarrow (1-x)(1-z)\leq \left ( \frac{1-x+1-z}{2} \right )^{2}$
$\Leftrightarrow 4(1-x)(1-z)\leq \left ( 1+y \right )^{2}$
$\Leftrightarrow 4(1-x)(1-z)(1-y)\leq \left ( 1+y \right )^{2}(1-y)$
mặt khác $1-y^{2}\leq 1$
$(1+y)^{2}(1-y)=(1+y)(1-y^{2})=(x+2y+z)(1-y^{2})$
do đó:$4(1-x)(1-y)(1-z)\leq x+2y+z$ (dpcm)
- CaptainCuong, myduyen03 và Tomdapchai thích
#5
Đã gửi 14-08-2015 - 15:40
còn cách nào khác không ạ?
#6
Đã gửi 14-08-2015 - 16:07
Cho $x,y,z$ là các số thực không âm thỏa $x+y+z=1$
CMR : $x+2y+z\geq 4(1-x)(1-y)(1-z)$
còn cách nào khác không ạ?
BĐT $<=>$ $x+y+y+z \geq 4(x+y)(y+z)(z+x)$
Đặt $a=y+z,b=z+x,c=x+y$
BĐT $<=>$ $b+c \geq 4abc$
$2-a \geq 4abc$
$2-a-4abc \geq 0$
rồi cmtt phần trên
- dera coppy và Element hero Neos thích
#7
Đã gửi 14-08-2015 - 20:03
Cho $x,y,z$ là các số thực không âm thỏa $x+y+z=1$
CMR : $x+2y+z\geq 4(1-x)(1-y)(1-z)$
$\Leftrightarrow x+2y+z\geq 4(x+y)(y+z)(z+x)\Leftrightarrow \frac{1}{4(x+z)(y+z)}+\frac{1}{4(x+z)(x+y)}\geq 1$
Thật vậy,ta có:$\frac{1}{z+x}(\frac{1}{4(y+z)}+\frac{1}{4(x+y)})\geq \frac{1}{z+x}.\frac{1}{x+y+y+z}=\frac{1}{y^{2}-1}$
Dễ thấy :$(x+y+z)^{2}+1\geq y^{2}=>1\geq y^{2}-1=>\frac{1}{y^{2}-1}\geq 1$
$=>đpcm$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lethutang7dltt: 15-08-2015 - 14:03
#oimeoi #
#8
Đã gửi 14-08-2015 - 20:33
$\Leftrightarrow x+2y+z\geq 4(x+y)(y+z)(z+x)\Leftrightarrow \frac{1}{4(x+z)(y+z)}+\frac{1}{4(x+z)(x+y)}\geq 1$
Thật vậy,ta có:$\frac{1}{z+x}(\frac{1}{4(y+z)}+\frac{1}{4(x+y)})\geq$ $\frac{1}{z+x}.\frac{1}{x+y+y+z}=\frac{1}{y^{2}-1}$
Dễ thấy :$(x+y+z)^{2}+1\geq y^{2}=>1\geq y^{2}-1=>\frac{1}{y^{2}-1}\geq 1$
$=>đpcm$
Chỗ màu đỏ đáng ra phải là: $= \frac{1}{1-y^2} $ mới đúng và áp dụng ngay bđt $1-y^2 \leq 1$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Namthemaster1234: 14-08-2015 - 20:34
- lethutang7dltt yêu thích
Đừng lo lắng về khó khăn của bạn trong toán học, tôi đảm bảo với bạn rằng những khó khăn toán học của tôi còn gấp bội.
(Albert Einstein)
Visit my facebook: https://www.facebook.com/cao.simon.56
#9
Đã gửi 15-08-2015 - 13:57
Chỗ màu đỏ đáng ra phải là: $= \frac{1}{1-y^2} $ mới đúng và áp dụng ngay bđt $1-y^2 \leq 1$
ukm mk nhầm xíu,thanks
#oimeoi #
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh