Chủ đề này có 1 trả lời

[Crystal]

Cho hình lăng trụ đứng $ABC.{A_1}{B_1}{C_1}$, đáy $ABC$ là tam giác vuông có $CA=CB=a$, góc giữa đường thẳng $B{A_1}$ và mặt phẳng $AC{C_1}{A_1}$ bằng $30^0$. Gọi $M$ là trung điểm của $A_1B_1$. Tính khoảng cách từ $M$ đến mặt phẳng $A_1BC$.

Thử sức trước kì thi số 8 - THTT

[hoangtrong2305]

Ta có:

$\left\{\begin{matrix} BC\perp CA\\ BC\perp CC_{1} \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow BC\perp (ACC_{1}A_{1})$

$\Rightarrow \widehat{[BA_{1};(ACC_{1}A_{1})]}=\widehat{BA_{1}C}=30^{o}$

Ta có: $BC\perp (ACC_{1}A_{1})\Rightarrow BC\perp CA_{1}$

$\Rightarrow \Delta BCA_{1}$ vuông tại $C$

$\Rightarrow A_{1}B=\frac{BC}{\sin 30^{o}}=2a$

Gọi $O$ là trung điểm $AB$

Do $\Delta ABC$ vuông cân tại $C\Rightarrow CO\perp AB$

$\Rightarrow CO=\frac{a\sqrt{2}}{2}$

Ngoài ra, ta còn có thêm $AB=a\sqrt{2}$

Ta có $AA_{1}B_{1}B$ là hình chữ nhật

$\Rightarrow AA_{1}=B_{1}B=a\sqrt{2}$

Mặt khác, do $M$ là trung điểm $A_{1}B_{1}\Rightarrow A_{1}M=\frac{a\sqrt{2}}{2}$

$\Rightarrow S_{\Delta A_{1}MB}=\frac{1}{2}.BB_{1}.A_{1}M=\frac{a^{2}}{2}$

Xét tứ diện $C.A_{1}MB$

$V_{C.A_{1}MB}=\frac{1}{3}.CO.S_{\Delta A_{1}MB}=\frac{a^{3}\sqrt{2}}{6}$

Xét $\Delta A_{1}BC$ vuông tại $C$

$A_{1}C=\frac{BC}{\tan 30}=a\sqrt{3}$

$\Rightarrow S_{\Delta A_{1}BC}=\frac{1}{2}.BC.A_{1}C=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{2}$

Ta có:

$V_{C.A_{1}MB}=V_{M.A_{1}BC}=\frac{1}{3}.d[M.(A_{1}BC)].S_{\Delta A_{1}BC}$

$\frac{a^{3}\sqrt{2}}{6}=\frac{1}{3}.d[M.(A_{1}BC)].\frac{a^{2}\sqrt{3}}{2}$

$d[M.(A_{1}BC)]=\frac{a\sqrt{6}}{9}$
Ta có:

$\left\{\begin{matrix} BC\perp CA\\ BC\perp CC_{1} \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow BC\perp (ACC_{1}A_{1})$

$\Rightarrow \widehat{[BA_{1};(ACC_{1}A_{1})]}=\widehat{BA_{1}C}=30^{o}$

Ta có: $BC\perp (ACC_{1}A_{1})\Rightarrow BC\perp CA_{1}$

$\Rightarrow \Delta BCA_{1}$ vuông tại $C$

$\Rightarrow A_{1}B=\frac{BC}{\sin 30^{o}}=2a$

Gọi $O$ là trung điểm $AB$

Do $\Delta ABC$ vuông cân tại $C\Rightarrow CO\perp AB$

$\Rightarrow CO=\frac{a\sqrt{2}}{2}$

Ngoài ra, ta còn có thêm $AB=a\sqrt{2}$

Ta có $AA_{1}B_{1}B$ là hình chữ nhật

$\Rightarrow AA_{1}=B_{1}B=a\sqrt{2}$

Mặt khác, do $M$ là trung điểm $A_{1}B_{1}\Rightarrow A_{1}M=\frac{a\sqrt{2}}{2}$

$\Rightarrow S_{\Delta A_{1}MB}=\frac{1}{2}.BB_{1}.A_{1}M=\frac{a^{2}}{2}$

Xét tứ diện $C.A_{1}MB$

$V_{C.A_{1}MB}=\frac{1}{3}.CO.S_{\Delta A_{1}MB}=\frac{a^{3}\sqrt{2}}{6}$

Xét $\Delta A_{1}BC$ vuông tại $C$

$A_{1}C=\frac{BC}{\tan 30}=a\sqrt{3}$

$\Rightarrow S_{\Delta A_{1}BC}=\frac{1}{2}.BC.A_{1}C=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{2}$

Ta có:

$V_{C.A_{1}MB}=V_{M.A_{1}BC}=\frac{1}{3}.d[M.(A_{1}BC)].S_{\Delta A_{1}BC}$

$\frac{a^{3}\sqrt{2}}{6}=\frac{1}{3}.d[M.(A_{1}BC)].\frac{a^{2}\sqrt{3}}{2}$

$d[M.(A_{1}BC)]=\frac{a\sqrt{6}}{9}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangtrong2305: 06-06-2012 - 21:31