Thử sức trước kì thi số 8 - THTT
Tính khoảng cách từ $M$ đến mặt phẳng $A_1BC$.
Bắt đầu bởi Crystal , 20-05-2012 - 00:45
#1
Đã gửi 20-05-2012 - 00:45
Cho hình lăng trụ đứng $ABC.{A_1}{B_1}{C_1}$, đáy $ABC$ là tam giác vuông có $CA=CB=a$, góc giữa đường thẳng $B{A_1}$ và mặt phẳng $AC{C_1}{A_1}$ bằng $30^0$. Gọi $M$ là trung điểm của $A_1B_1$. Tính khoảng cách từ $M$ đến mặt phẳng $A_1BC$.
#2
Đã gửi 24-05-2012 - 22:47
Ta có:
$\left\{\begin{matrix} BC\perp CA\\ BC\perp CC_{1} \end{matrix}\right.$
$\Rightarrow BC\perp (ACC_{1}A_{1})$
$\Rightarrow \widehat{[BA_{1};(ACC_{1}A_{1})]}=\widehat{BA_{1}C}=30^{o}$
Ta có: $BC\perp (ACC_{1}A_{1})\Rightarrow BC\perp CA_{1}$
$\Rightarrow \Delta BCA_{1}$ vuông tại $C$
$\Rightarrow A_{1}B=\frac{BC}{\sin 30^{o}}=2a$
Gọi $O$ là trung điểm $AB$
Do $\Delta ABC$ vuông cân tại $C\Rightarrow CO\perp AB$
$\Rightarrow CO=\frac{a\sqrt{2}}{2}$
Ngoài ra, ta còn có thêm $AB=a\sqrt{2}$
Ta có $AA_{1}B_{1}B$ là hình chữ nhật
$\Rightarrow AA_{1}=B_{1}B=a\sqrt{2}$
Mặt khác, do $M$ là trung điểm $A_{1}B_{1}\Rightarrow A_{1}M=\frac{a\sqrt{2}}{2}$
$\Rightarrow S_{\Delta A_{1}MB}=\frac{1}{2}.BB_{1}.A_{1}M=\frac{a^{2}}{2}$
Xét tứ diện $C.A_{1}MB$
$V_{C.A_{1}MB}=\frac{1}{3}.CO.S_{\Delta A_{1}MB}=\frac{a^{3}\sqrt{2}}{6}$
Xét $\Delta A_{1}BC$ vuông tại $C$
$A_{1}C=\frac{BC}{\tan 30}=a\sqrt{3}$
$\Rightarrow S_{\Delta A_{1}BC}=\frac{1}{2}.BC.A_{1}C=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{2}$
Ta có:
$V_{C.A_{1}MB}=V_{M.A_{1}BC}=\frac{1}{3}.d[M.(A_{1}BC)].S_{\Delta A_{1}BC}$
$\frac{a^{3}\sqrt{2}}{6}=\frac{1}{3}.d[M.(A_{1}BC)].\frac{a^{2}\sqrt{3}}{2}$
$d[M.(A_{1}BC)]=\frac{a\sqrt{6}}{9}$
Ta có:
$\left\{\begin{matrix} BC\perp CA\\ BC\perp CC_{1} \end{matrix}\right.$
$\Rightarrow BC\perp (ACC_{1}A_{1})$
$\Rightarrow \widehat{[BA_{1};(ACC_{1}A_{1})]}=\widehat{BA_{1}C}=30^{o}$
Ta có: $BC\perp (ACC_{1}A_{1})\Rightarrow BC\perp CA_{1}$
$\Rightarrow \Delta BCA_{1}$ vuông tại $C$
$\Rightarrow A_{1}B=\frac{BC}{\sin 30^{o}}=2a$
Gọi $O$ là trung điểm $AB$
Do $\Delta ABC$ vuông cân tại $C\Rightarrow CO\perp AB$
$\Rightarrow CO=\frac{a\sqrt{2}}{2}$
Ngoài ra, ta còn có thêm $AB=a\sqrt{2}$
Ta có $AA_{1}B_{1}B$ là hình chữ nhật
$\Rightarrow AA_{1}=B_{1}B=a\sqrt{2}$
Mặt khác, do $M$ là trung điểm $A_{1}B_{1}\Rightarrow A_{1}M=\frac{a\sqrt{2}}{2}$
$\Rightarrow S_{\Delta A_{1}MB}=\frac{1}{2}.BB_{1}.A_{1}M=\frac{a^{2}}{2}$
Xét tứ diện $C.A_{1}MB$
$V_{C.A_{1}MB}=\frac{1}{3}.CO.S_{\Delta A_{1}MB}=\frac{a^{3}\sqrt{2}}{6}$
Xét $\Delta A_{1}BC$ vuông tại $C$
$A_{1}C=\frac{BC}{\tan 30}=a\sqrt{3}$
$\Rightarrow S_{\Delta A_{1}BC}=\frac{1}{2}.BC.A_{1}C=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{2}$
Ta có:
$V_{C.A_{1}MB}=V_{M.A_{1}BC}=\frac{1}{3}.d[M.(A_{1}BC)].S_{\Delta A_{1}BC}$
$\frac{a^{3}\sqrt{2}}{6}=\frac{1}{3}.d[M.(A_{1}BC)].\frac{a^{2}\sqrt{3}}{2}$
$d[M.(A_{1}BC)]=\frac{a\sqrt{6}}{9}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangtrong2305: 06-06-2012 - 21:31
- zolly90 yêu thích
Toán học là ông vua của mọi ngành khoa học.
Albert Einstein
(1879-1955)
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Click xem Đạo hàm, Tích phân ứng dụng được gì?
và khám phá những ứng dụng trong cuộc sống
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh