Tìm x và y biết chúng thỏa
$x\sqrt{y}+2y\sqrt{x} = 3x\sqrt{2x-1}$ và $y\sqrt{x}+2x\sqrt{y}= 3y\sqrt{2y-1}$Giải
ĐK: $x, y \geq \dfrac{1}{2}$
Giả sử: $x \geq y \,\,\, (1)$
$\Leftrightarrow 3x\sqrt{2x - 1} \geq 3y\sqrt{2y - 1}$
$\Rightarrow x\sqrt{y}+2y\sqrt{x} \geq y\sqrt{x}+2x\sqrt{y}$
$\Leftrightarrow y\sqrt{x} - x\sqrt{y} \geq 0 \Leftrightarrow \sqrt{xy}(\sqrt{y} - \sqrt{x}) \geq 0 \, (2)$
Do $x, y \geq \dfrac{1}{2} $ nên:
$(2) \Leftrightarrow \sqrt{y} \geq \sqrt{x} \Leftrightarrow y \geq x$
Kết hợp điều này với (1), ta có:
$$y \geq x \geq y$$
Điều này chỉ xảy ra khi x = y.
Chứng minh tương tự khi $y \geq x$, ta cũng nhận được giá trị x = y.
Do đó, hệ ban đầu trở thành:
$\left\{\begin{array}{l}x = y\\3x\sqrt{x} = 3x\sqrt{2x - 1}\end{array}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}x = y \geq \dfrac{1}{2}\\\sqrt{x} = \sqrt{2x - 1}\end{array}\right.$
$\Leftrightarrow x = y = 1$
Vậy, hệ ban đầu có nghiệm (x; y) = (1; 1)
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Hữu Bảo Chung: 21-05-2012 - 19:51
