Tìm $min$ và $max$ của
$$P=\sqrt{2x+1}+\sqrt{3y+1}+\sqrt{4z+1}$$. Trong đó $x,y,z$ là các số thực ko âm có tổng bằng 4
Tìm $min$ và $max$ của $$P=\sqrt{2x+1}+\sqrt{3y+1}+\sqrt{4z+1}$$
Bắt đầu bởi Dung Dang Do, 21-05-2012 - 20:11
#1
Đã gửi 21-05-2012 - 20:11
Dung Dang Do
-
- Thành viên
-
- 524 Bài viết
Dũng Dang Dở
#2
Đã gửi 21-05-2012 - 20:42
hongcho24031997
-
- Thành viên
-
- 37 Bài viết
Binh nhất
đặt $\sqrt{2x+1}=a, \sqrt{3y+1}=b, \sqrt{4z+1}=c( a,b,c \geq 1)$
$(a-1)(b-1)+(b-1)(c-1)+(c-1)(a-1)\geq 0\Rightarrow ab+bc+ca\geq 2P-3$
$\Rightarrow P^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\geq 2x+1+3y+1+4z+1+4P-6=2(x+y+z)+y+2z-3+4P$
$\Rightarrow P^2-4P-5\geq 0\Leftrightarrow (P+1)(P-5)\geq 0\Rightarrow P \geq 5$
$"=" \Leftrightarrow x=4, y=z=0$
$P\leq \sqrt{(2+3+4)\left [ (x+\frac{1}{2})+(y+\frac{1}{3})+(z+\frac{1}{4}) \right ]}=\frac{\sqrt{183}}{2}$
$"="\Leftrightarrow x=\frac{58}{81}, y=\frac{161}{108}, z= \frac{581}{324}$
$(a-1)(b-1)+(b-1)(c-1)+(c-1)(a-1)\geq 0\Rightarrow ab+bc+ca\geq 2P-3$
$\Rightarrow P^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\geq 2x+1+3y+1+4z+1+4P-6=2(x+y+z)+y+2z-3+4P$
$\Rightarrow P^2-4P-5\geq 0\Leftrightarrow (P+1)(P-5)\geq 0\Rightarrow P \geq 5$
$"=" \Leftrightarrow x=4, y=z=0$
$P\leq \sqrt{(2+3+4)\left [ (x+\frac{1}{2})+(y+\frac{1}{3})+(z+\frac{1}{4}) \right ]}=\frac{\sqrt{183}}{2}$
$"="\Leftrightarrow x=\frac{58}{81}, y=\frac{161}{108}, z= \frac{581}{324}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hongcho24031997: 21-05-2012 - 20:43
T hj vọng là khj lên ckuyên rùj, gặp nkiều ng pạn ms, sống trog môj trường học tập ms, thầy cô gjáo ms, thì m kũg ko pao gjờ quên t, kũg nkư k pao gjờ quên 9a2 mìnk, t ngkĩ là nkữg ngày thág m sốg cùg t sẽ ko quá mờ nkạt để m quên đj tất cả đúg ko? Nhưg nếu thờj gjan làm m quên đj 1 ckút thì kũg đừg quên luôn t là aj nka. Đừg để đến khj m onl thấy trog list pạn pè kủa m thấy Nguyễn Bạck Dươg rùj k nkớ là aj luôn đấy nké Thỉnk thoảng về ckơj vs t, k thì t pùn ckết mất Tất cả nkữg đứa thân nkất vs t, hầu nkư lên ckuyên hết uj, nản wá, thật học vs lớp khác nản ckết luôn Chị t sắp cưới, khj đó nkất địnk m fảj về nkà t đấy nká
Khj nào m cướj, cũg nkất địnk fảj mờj t đến Thôj, thế thôj. Tóm lạj là dù thế nào thì kũg k đk quên t đâu đấy nká, hj vọg t vs m vs kn hs vs kn nx mãj thân nké. Ckúg m k đk pỏ t đâu đấy, hjx
#3
Đã gửi 21-05-2012 - 20:43
MyLoVeForYouNMT
-
- Thành viên
-
- 259 Bài viết
Thượng sĩ
Đặt $a=\sqrt{2x+1},b=\sqrt{3y+1},c=\sqrt{4z+1}$
thì ta sẽ có $a,b,c\ge1$ và $a^2+b^2+c^2=3+2(x+y+z)+(y+2z)\ge11$
Mặt khác $(a-1)(b-1)+(b-1)(c-1)+(c-1)(a-1)\ge0$ điều nay dẫn đến $ab+bc+ca\ge-3+2(a+b+c)=2P-3$
Hơn nữa ta lại có $P^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)$ dẫn đến $P^2\ge11+2(2P-3)$
Giải bpt nay ta được $P\ge5$
Vậy GTNN của $P$ bằng 5 đạt được khi $x=4,y=z=0$
Nguồn: onluyentoan.vn
thì ta sẽ có $a,b,c\ge1$ và $a^2+b^2+c^2=3+2(x+y+z)+(y+2z)\ge11$
Mặt khác $(a-1)(b-1)+(b-1)(c-1)+(c-1)(a-1)\ge0$ điều nay dẫn đến $ab+bc+ca\ge-3+2(a+b+c)=2P-3$
Hơn nữa ta lại có $P^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)$ dẫn đến $P^2\ge11+2(2P-3)$
Giải bpt nay ta được $P\ge5$
Vậy GTNN của $P$ bằng 5 đạt được khi $x=4,y=z=0$
Nguồn: onluyentoan.vn
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thatlong_anh_xinloi_em: 21-05-2012 - 20:43
- dtvanbinh và Dung Dang Do thích
You may only be one person to the world
But you may also be the world to one person
#4
Đã gửi 22-05-2012 - 10:36
dtvanbinh
-
- Thành viên
-
- 122 Bài viết
Trung sĩ
lời giải nên nói rõ cho các bạn mới làm quen bdt tại sao lại sử dụng (a-1)(b-1)+...>=0 vì
dự đoán điểm rơi xảy ra tai (4,0,0) <=> (a,b,c)=(3,1,1) mà ta lại có các đánh giá liên quan đến ab+..,ab+...,a^2+...
dự đoán điểm rơi xảy ra tai (4,0,0) <=> (a,b,c)=(3,1,1) mà ta lại có các đánh giá liên quan đến ab+..,ab+...,a^2+...
$(2x^{2}+2y^{2}+z^{2}-1)^{3}-\frac{1}{10}x^{2}z^{3}-y^{2}z^{3}=0$
$(x^{2}+\frac{9}{4}y^{2}+z^{2}-1)^{3}-x^{2}z^{3}-\frac{9}{80}y^{2}z^{3}=0$
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
