Trong mặt phẳng $Oxy$ cho $(E):\frac{x^2}{4}+y^2=1$. Tìm $M\in Ox,N\in Oy$ sao cho $MN$ tiếp xúc với $(E)$ và đoạn $MN$ ngắn nhất.
Tìm M, N để MN ngắn nhất
Bắt đầu bởi CD13, 24-05-2012 - 00:06
#1
Đã gửi 24-05-2012 - 00:06
#2
Đã gửi 28-06-2012 - 11:02
Gọi M(m;o) và N(0;n), (m>0 , n>0 ) là 2 điểm thuộc Ox, Oy.Trong mặt phẳng $Oxy$ cho $(E):\frac{x^2}{4}+y^2=1$. Tìm $M\in Ox,N\in Oy$ sao cho $MN$ tiếp xúc với $(E)$ và đoạn $MN$ ngắn nhất.
PT đường thẳng $MN:\frac{x}{m} + \frac{y}{n} - 1 = 0$
MN tiếp xúc (E): $ \Leftrightarrow 4.{\left( {\frac{1}{m}} \right)^2} + 1.{\left( {\frac{1}{n}} \right)^2} = 1$
$ \Leftrightarrow M{N^2} = \left( {{m^2} + {n^2}} \right) = \left( {{m^2} + {n^2}} \right)\left( {\frac{4}{{{m^2}}} + \frac{1}{{{n^2}}}} \right) \geqslant {\left( {m.\frac{2}{m} + n.\frac{1}{n}} \right)^2} = 9 (BCS)$
$ \Leftrightarrow MN \geqslant 3$
Dấu "=" xảy ra $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
m:\frac{2}{m} = n:\frac{1}{n} \\
\frac{4}{{{m^2}}} + \frac{1}{{{n^2}}} = 1 \\
\end{gathered} \right.$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
m = \sqrt 6 \\
n = \sqrt 3 \\
\end{gathered} \right.$
Vậy: $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
M:\left( {\sqrt 6 ;0} \right) \\
N: \left( {0;\sqrt 3 } \right) \\
\end{gathered} \right.$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tolaphuy10a1lhp: 28-06-2012 - 11:03
- CD13, donghaidhtt và Mylovemath thích
Học là ..... hỏi ...............
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh