Chủ đề này có 1 trả lời

[CD13]

Trong mặt phẳng $Oxy$ cho $(E):\frac{x^2}{4}+y^2=1$. Tìm $M\in Ox,N\in Oy$ sao cho $MN$ tiếp xúc với $(E)$ và đoạn $MN$ ngắn nhất.

[tolaphuy10a1lhp]

Trong mặt phẳng $Oxy$ cho $(E):\frac{x^2}{4}+y^2=1$. Tìm $M\in Ox,N\in Oy$ sao cho $MN$ tiếp xúc với $(E)$ và đoạn $MN$ ngắn nhất.

Gọi M(m;o) và N(0;n), (m>0 , n>0 ) là 2 điểm thuộc Ox, Oy.
PT đường thẳng $MN:\frac{x}{m} + \frac{y}{n} - 1 = 0$
MN tiếp xúc (E): $ \Leftrightarrow 4.{\left( {\frac{1}{m}} \right)^2} + 1.{\left( {\frac{1}{n}} \right)^2} = 1$

$ \Leftrightarrow M{N^2} = \left( {{m^2} + {n^2}} \right) = \left( {{m^2} + {n^2}} \right)\left( {\frac{4}{{{m^2}}} + \frac{1}{{{n^2}}}} \right) \geqslant {\left( {m.\frac{2}{m} + n.\frac{1}{n}} \right)^2} = 9 (BCS)$

$ \Leftrightarrow MN \geqslant 3$
Dấu "=" xảy ra $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
m:\frac{2}{m} = n:\frac{1}{n} \\
\frac{4}{{{m^2}}} + \frac{1}{{{n^2}}} = 1 \\
\end{gathered} \right.$

$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
m = \sqrt 6 \\
n = \sqrt 3 \\
\end{gathered} \right.$
Vậy: $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
M:\left( {\sqrt 6 ;0} \right) \\
N: \left( {0;\sqrt 3 } \right) \\
\end{gathered} \right.$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tolaphuy10a1lhp: 28-06-2012 - 11:03