Xác định mọi hàm số $f: \mathbb{Z}\to\mathbb{Z}$ thỏa mãn: Với mỗi cặp số nguyên $m$ và $n$ (không nhất thiết phải khác nhau) $\mathrm{gcd}(m, n)$ là ước của $f(m) + f(n)$
Chú ý: Nếu $n\in\mathbb{Z}$, $\mathrm{gcd}(m, n)=\mathrm{gcd}(|m|, |n|)$ và $\mathrm{gcd}(n, 0)=n$.
Austrian Mathematical Olympiad 2012
#1
Đã gửi 24-05-2012 - 07:28
Zaraki
-
- Phó Quản lý Toán Cao cấp
-
- 4273 Bài viết
PQT
- barcavodich, lamNMP01 và Hoang72 thích
Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.
Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”).
#2
Đã gửi 31-07-2013 - 21:55
barcavodich
-
- Thành viên
-
- 449 Bài viết
Sĩ quan
Bạn xem lại đề với
Này nhé nếu $n=-1$,$m=0$
$-1=\gcd (-1,0)=\gcd (|-1|,|0|)=\gcd (1,0)=1\Rightarrow -1=1$ 
[topic2=''][/topic2]Music makes life more meaningful
#3
Đã gửi 09-05-2017 - 01:19
lamNMP01
-
- Thành viên
-
- 96 Bài viết
Hạ sĩ
Hừm em biết là nó khá cũ rồi nhưng thôi kệ.
Thay m,n bới p,1 với p nguyên tố lớn hơn bằng 3 và n=1. Ta có p là ước của f(p)+f(1).
Thay m,n bởi p,p với p nguyên tố lớn hơn bằng 3 . Ts có p là ước của f(p).
Vậy p là ước của f(1).
. Cho p ra dương vô cùng , ta có f(1)=0. Đến đây ta xét thay x,y bởi n,1. Ta có n là ước của f(n). Ta có mọi hàm f(x) như trên đều thoả mãn yêu cầu bài toán
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
