13 replies to this topic

[Crystal]

Topic này dùng để tổng hợp lại các bài toán chưa có lời giải trong Box Bất đẳng thức và cực trị.

Quy định:

1. Tuyệt đối không giải ở đây, các bạn click vào biểu tượng $\boxed{\text{số thự tự}}$ để đến topic gốc và giải ở đó.

2. Sau khi đã có lời giải, các bạn vui lòng gửi bài viết với nội dung Bài toán số ... đã có lời giải để ĐHV có thể cập nhật lại list bài toán mới.

3. Tuyệt đối không spam.

---

[Crystal]

$\boxed{1}$ Cho $a,b,c >0$. Chứng minh rằng: $\sum {\frac{{ab}}{{a + 2{a^2} + {a^3} + 2{b^4} + 2{c^8} + 10}} < \frac{1}{4}} $

$\boxed{2}$ Cho 3 số dương $x,y,z$ thoả mãn: $x+y+z = \frac{xy}{z}$. Chứng minh rằng: $(y+z)^4+ (x+z)^4 < (x+y)^4$

$\boxed{3}$ Chứng minh rằng với mọi $n\geq 1,n\in \mathbb{N}$ ta có $\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{2n}<\frac{7}{10}$

$\boxed{4}$ Cho $a,b,c$ là các số thực dương thoã mãn $abc=1$. Chứng minh rằng: $\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\ge \frac{3}{2}(a+b+c-1)$

$\boxed{5}$ Cho $a,b,c,d$ là các số thực thỏa mãn $0 \le a \le c \le x \le d \le b$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $$T = \sqrt {\left( {x - a} \right)\left( {b - x} \right)} + \sqrt {\left( {x - c} \right)\left( {d - x} \right)} $$
$\boxed{6}$ Cho các số $x,y,z$ không âm thoả mãn: $x+y+z=1$. Chứng minh BĐT sau: $\sqrt{x+y^{2}}+\sqrt{y+z^{2}}+\sqrt{z+x^{2}}\geq 2.$

$\boxed{7}$ Cho $a, b, c$ là các số thực dương thỏa mãn $a+b+c=1$ . Chứng minh rằng :
$$\dfrac{b\sqrt{c}}{a\left (\sqrt{3c}+\sqrt{ab}\right )}+\dfrac{c\sqrt{a}}{b\left (\sqrt{3a}+\sqrt{bc}\right )}+\dfrac{a\sqrt{b}}{c\left (\sqrt{3b}+\sqrt{ca}\right )}\ge \dfrac{3\sqrt{3}}{4}$$
$\boxed{8}$ Cho $a,b,c$ là các số thực dương. Chứng minh rằng :
$$\left |\dfrac{a^3-b^3}{a+b}+\dfrac{b^3-c^3}{b+c}+\dfrac{c^3-a^3}{c+a}\right |\le \dfrac{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}{4}$$
$\boxed{9}$ Cho $x, y, z$ là các số thực dương thỏa mãn $x+y+z=1$. Chứng minh rằng:
$$\dfrac{x}{3^x}+\dfrac{y}{3^y}+\dfrac{z}{3^z}\le \dfrac{1}{9}\left (3^{x+y}+3^{y+z}+3^{z+x}\right )$$
$\boxed{10}$ Cho $a,b,c,d>0$ và $abcd=1$. Chứng minh rằng:
$$\frac{a^3}{b^2(c^2+d^2)}+\frac{b^3}{c^2(d^2+a^2)}+\frac{c^3}{d^2(a^2+b^2)}+\frac{d^3}{a^2(b^2+c^2)} \geq 2$$
$\boxed{11}$ (nthd-01-05-2006):
Cho $a, b, c >0, abc=1$. Chứng minh răng: $$\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}-\dfrac{3}{a+b+c}\ge\dfrac{2}{a^2+b^2+c^2}.(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2})$$
$\boxed{12}$ (nthd-01-05-2006):
Cho $a, b, c \geq 0$ sao cho:
$a+b \leq c+1$
$b+c \leq a+1$
$c+a \leq b+1$
Chứng minh: $A^2+b^2+c^2 \leq 2abc+1$

Bài 13. (caothujjj-02-08-2007)
Cho $a,b,c$ là các số thực dương dương. Chứng minh rằng: $$\sum \dfrac{a}{(b^2+c^2)} \geq \sum \dfrac{4}{5(a+b)}$$
Bài 14. (number_zero-12-08-2007)
Cho $a+x=b+y=c+z=k$. CMR: ${ ay+bz+cx} \leq k^{2} $

Bài 15. (hoang tuan anh -17-08-2007)
Cho $xyz=1$ , CMR $\sum \dfrac{x}{z^3(x+11z)} +\dfrac{1}{12} \geq \dfrac{1}{24}(x+y)(y+z)(z+x)$

Bài 16. (hoang tuan anh -17-08-2007)
Cho $xyz=1$ . CMR $\sum \dfrac{x}{z^3(x(x-y)+(x+z)(y+z))} +1 \geq \dfrac{1}{8}(x+y)(y+z)(z+x) + \dfrac{1}{4}(x+y+z)$

Bài 17. (hoang tuan anh -17-08-2007)
Cho $x^2+y^2+z^2=xy+yz+zx+1$. CMR $\sum \dfrac{x^4}{x+7y} > \dfrac{1}{8}(x+y+z+3xyz)$

Bài 18. (chien than -03-11-2007)
$a,b,c,d >0. a+b+c+d=4$. CMR:$ 3(a^2+b^2+c^2+d^2)+4abcd \geq 16$

Bài 19. (thanhbinh214 -07-11-2007)
Cho dãy {$x_{n} $}được xác định như sau:
$x_{1} \geq \dfrac{3}{4}; x_{n+1}^{4}+3 =4x_{n}$. CMR $2x_{n+5}^{4}+3 \leq x_{n-5}^{4} +4 \sqrt[4]{4x_{n-5}-3} $

Bài 20. (chien than -22-09-2007)
Cho$ x;y \in R;x>0$ thỏa mãn $y(y+1) \leq (x+1)^2$. CMR $y(y-1) \leq x^2$

Bài 21. (1111111 -12-11-2007)
Cho A,B,C là 3 góc nhọn của 1 tam giác. $CMR: (3+cosA)(3+cosB)(3+cosC)>32$

Bài 22. (hoang tuan anh -06-01-2008)
Tìm min của $y=\dfrac{2|x|}{x^2+2}+|\dfrac{6x}{x^2+2}+1|+|\dfrac{x}{x^2+2}-2|+|\dfrac{6x}{x^2+2}+1|$

Bài 23. (rangcamap_94 -04-04-2008)
Cho $x,y$ thỏa mãn $x^{2}.( x^{2} +2 y^{2}-3)+( y^{2} -2) ^{2} =1$ tim min, max : $A= x^{2} + y^{2} $

Bài 24. (rangcamap_94 -04-04-2008)
Cho $x,y$ thỏa mãn $P= x^{2} +2xy+7(x+y)+2 y^{2} +10=0$. Tìm min, max $A= x+y+1 $

Bài 25. (tranquocluat_ht -06-04-2008)
Cho $a,b,c>0$. CMR: $\frac{a}{b+c^2}+\frac{b}{c+a^2}+\frac{c}{ab^2} \geq \frac{9}{3+a+b+c}$

Bài 26. (Sk8ter-boi 29-05-2008)
chứng minh rằng trong 5 số thực bất kỳ khác nhau thì tồn tại 2 số thỏa mãn BĐT $|ab+1| > |a-b|$

Bài 27. (anh qua -25-12-2008)
Cho x,y thỏa mãn :$x^2=a, y^2=b$. Biết:$(a-b+1)^2 +4ab-a-b=0$. Tìm min, max của $a+b$

Bài 28. (alextb -04-11-2008)
Cho $a,b,c > 0 $ và $a+b+c = 1$ ,tìm min của: $P= ab + 2bc + 2ca $

Bài 29. (sieuthamtu_sieudaochit -02-05-2009)
Cho a,b,c là các số thực không âm thoả $\dfrac{a}{1+bc}+\dfrac{b}{1+ca}+\dfrac{c}{1+ab}\ge 3$
Tìm GTNN $P=\dfrac{a}{1+a+bc}+\dfrac{b}{1+b+ca}+\dfrac{c}{1+c+ab}$
Bài 30. (cvp -21-06-2009)
Cho x,y,z, a,b,c là các số thực dương bất kì với x+y+z=1.Chứng minh rằng:
$$ax + by + cz + 2\sqrt {\left( {xy + yz + zx} \right)\left( {ab + bc + ca} \right)} \le a + b + c$$
Bài 31. (frazier -30-06-2009)
Chứng minh rằng, nếu các số dương $x, y$ thỏa mãn các bất đẳng thức $x + y > 2$ và $x^2 + y^2 < 4$ thì $xy > 1$

Bài 32. (frazier -30-06-2009)
Tìm GTNN của biểu thức: $\dfrac{ab}{a^2 + b^2} + \dfrac{a^2 + b^2}{ab} $

Bài33. (pth_tdn -19-07-2009)
Tìm max của $P=xy+2yz+xz$ biết $x \geq y \geq z >0$ và $1+4\sqrt{2}-2\sqrt{2}x^2=z^2=5-4y^2$

Bài 34. (ncc_3tc -30-08-2009)
Tìm min: $ \dfrac{a_{1}}{a_{2}+a_{3}+...+a_{x}} + \dfrac{2a_{2}}{a_{1}+a_{3}+...a_{x}} +...+ \dfrac{xa_{x}}{a_{1}+a_{2}+...+a_{x-1}}$

Với $ a_{1}, a_{2},...,a_{x}$ là các số thực dương

Bài 35. (shinichiconan1601 -02-09-2009)
Cho $a;b;c$ là ba số thực dương thỏa mãn: $a.b.c+6.a+3.b+2.c=24$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M=$a.b.c.(a^2+3).(b^2+12).(c^2+27)$

Bài 36. (Đỗ Quang Duy -03-10-2009)
Cho các số a,b,c là các số dương. Hãy chứng minh bất đẳng thức sau: $\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a} \geq \dfrac{a+b+c}{\sqrt[3]{abc}}$

Bài 37. (abstract -20-12-2009)
Cho a,b>0 và $2 a^{2} + b^{2} =1$. Cmr: $(7+x)a+(5+x)b \geq (9+x)ab+(3+x)$ với $x=3 \sqrt{3}$

Bài 38. (abstract -02-02-2010)
Cho $a,b,c>0,a+b+c=3$. CMR $(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b) \leq a^{2} b^{2} c^{2} $

Bài 39. (1414141 -22-02-2010)
$a,b,c$ dương và $n$ nguyên dương . Chứng minh
$$\dfrac{ab^n}{c^n(a+c)}+\dfrac{bc^n}{a^n(a+b)} + \dfrac{ca^n}{b^n(c+b)} \ge \dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{a+c}+\dfrac{c}{a+b} $$
Bài 40. (Chung Chung -10-10-2011)
Tìm min của $x + \dfrac{11}{2x} + \sqrt{4(\dfrac{7}{x^{2}} + 1)}$

-----
P/S: Những bài màu xanh là đã có lời giải.

Edited by votruc, 16-08-2015 - 09:41.

[25 minutes]

sao mình ấn vào bài 32 mà bị lỗi?

[Christian Goldbach]

sao mình ấn vào bài 32 mà bị lỗi?

Em cũng vậy,không tài nào vào được@

[humugosour]

sao mình ấn vào bài 32 mà bị lỗi?

bài này quá đơn giản, nhưng chắc do sự nhầm lẫn của mod hoặc hệ thống nên bị lỗi

[ducbau007]

ủa mình làm dc bài 35 mà nó không hiện lên màu xanh nhỉ     

[tien123456789]

bài 32 sao lại bị lỗi

[ttztrieuztt]

Bài toán số 30 đã có lời giải

[babylearnmathmv]

bài 18 em chứng minh bằng dồn biến 

[thanhhiencherry267]

Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn $xy+yz+zx=xyz$

Chứng minh rằng:

$\frac{x^{2}}{x+yz}+\frac{y^{2}}{y+zx}+\frac{z^{2}}{z+xy}\geqslant \frac{1}{4}.(x+y+z)$

Edited by tritanngo99, 01-10-2016 - 22:10.

[lephuonganh244]

Mọi ng giúp mik bài này nha nha!!!!!!

Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn xy+yz+zx=xyz

Chứng minh rằng:

$\frac{x^{2}}{x+yz}+\frac{y^{2}}{y+zx}+\frac{z^{2}}{z+xy}\geqslant \frac{1}{4}.(x+y+z)$

Ta có: $\frac{x^{2}}{x+yz}$=}$\frac{x^{3}}{x^{2}+xyz}$=$\frac{x^{3}}{(x+y)(x+z)}$

chứng minh tg tự =>A=$\frac{x^{2}}{x+yz}$+$\frac{y^{2}}{y+zx}$+$\frac{z^{2}}{z+xy}$=$\frac{x^{3}}{(x+y)(x+z)}$+$\frac{y^{3}}{(x+y)(y+z)}$+$\frac{z^{3}}{(z+y)(x+z)}$

Lại có:

$\frac{x^{3}}{(x+y)(x+z)}$+$\frac{x+z}{8}$+$\frac{x+y}{8}$$\geqslant$3.$\sqrt[3]{\frac{x^{3}}{8.8}}$=$\frac{3x}{4}$

CM tg tự=>A$\geqslant$$\frac{3}{4}(x+y+z)$- $\frac{1}{2}(x+y+z)$= $\frac{x+y+z}{4}$

Dấu "=" xảy ra <=> x=y=z

Edited by lephuonganh244, 30-09-2016 - 21:33.

[013]

Bài 31. (frazier -30-06-2009)
Chứng minh rằng, nếu các số dương x,yx,y thỏa mãn các bất đẳng thức x+y>2x+y>2 và x2+y2<4x2+y2<4 thì xy>1xy>1

Vào đường link thì bị lỗi: 

Xin lỗi, chúng tôi không tìm thấy!

Không xác định được chủ đề bạn cần xem.

[PDF]

Bài toán số 4 đã có lời giải:

Đặt $x=\sqrt[3]{\frac{a}{b}}$ ; $y=\sqrt[3]{\frac{b}{c}}$ ; $z=\sqrt[3]{\frac{c}{a}}$ . Ta có:

$a=\sqrt[3]{a^{3}}=\sqrt[3]{\frac{a^{2}}{bc}}=x^{2}y$ ; $b=y^{2}z$ ; $c=z^{2}x$ và $xyz=1$ .

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với

$x^{3}+y^{3}+z^{3}\geq \frac{3}{2}(x^{2}y+y^{2}z+z^{2}x-1)$  hay

$2(x^{3}+y^{3}+z^{3})+3xyz\geq 3(x^{2}y+y^{2}z+z^{2}x)$ do $xyz=1$

Không mất tính tổng quát , giả sử z nằm giữa x và y . Thế thì

$x(y-z)(z-x)\geq0$ hay

$z^{2}x+x^{2}y\leq xyz+x^{2}z$

$3(x^{2}y+y^{2}z+z^{2}x)\leq 3xyz+3z(x^{2}+y^{2})$

Ta cần chứng minh : $3z(x^{2}+y^{2})\leq 2(x^{3}+y^{3}+z^{3})$

Nhưng bất đẳng thức trên tương đương với

$(x-z)^{2}(2x+z)+(y-z)^{2}(2y+z)\geq 0$ , luôn đúng với x,y,z>0 . Chứng minh hoàn tất.

Dấu bằng xảy ra khi x=y=z=1 hay a=b=c=1

Edited by PDF, 25-06-2019 - 21:32.

[Pewnoy]

giúp mình với 

Một bđt giải theo pp lượng giác, pqr,..
Cho a,b,c>0 cmr:
$\sqrt{\frac{b+c}{a}} + \sqrt{\frac{a+c}{b}} + \sqrt{\frac{a+b}{c}} \geq \frac{3}{2}.\sqrt{\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{abc}}$

 

• Trả lời
• Lựa chọn trích dẫn
• Sửa
•  
•  

Edited by Pewnoy, 03-07-2019 - 23:22.