2 replies to this topic

[taminhtoan2601]

cho S là tập hợp các số gồm 3 phần tử sao cho tổng 2 phần tử bất kì là số chính phương (ví dụ S={5,20,44}).chứng minh S không có quá 1 số lẻ

[minhtuyb]

Giả sử $S$ có không ít hơn 2 số lẻ. Gọi 2 số lẻ đó là $a,b$. Vì tổng 2 phần tử bất kì trong $S$ là số chính phương nên có thể đặt:
$$a^2+b^2=k^2\ (k\in N^*)(1)$$
Xét modul 4:
$+)a^2\equiv 1\ (mod 4);b^2\equiv 1\ (mod 4)\ \text{Do a,b lẻ}\Rightarrow VT(1)\equiv 2\ (mod 4)(*)\\ +)k^2\equiv 0,1\ (mod 4) (**)$
-Vì $(*)$ và $(**)$ mâu thuẫn nên điều giả sử là sai. Vậy ta có ĐPCM

Edited by minhtuyb, 25-05-2012 - 20:17.

[henry0905]

Bạn xem kĩ lại đề đi, 3 phần tử đó đâu phải là số chính phương???
Lời giải khác:
TH1: 3 số lẻ: 2a+1,2b+1,2c+1
2a+1+2b+1= 2(a+b+1) $\Rightarrow$ a+b+1$\vdots$ 2
TTự $\Rightarrow$ a+c+1, b+c+1 $\vdots$ 2
$\Rightarrow$ 2(a+b+c)+3 $\vdots$ 2 (vô lý)
TH2: 2 số lẻ, 1 số chẵn: 2x+1,2y+1,2z
$\Rightarrow$ x+y+1$\vdots$ 2
2(x+z)+1 là SCP lẻ $\Rightarrow$ x+z $\vdots$ 2
Ttự y+z $\vdots$ 2
$\Rightarrow$ 2(x+y+z)+1 $\vdots$ 2
$\Rightarrow$ dpcm

Edited by L Lawliet, 26-05-2012 - 08:21.