EXERCISE 1:
Chứng minh rằng phương trình ${x^{4k}} + {y^{4k}} = {z^{2k}}$ không có nghiệm nguyên.
EXERCISE 2:
Cho k là số nguyên dương cho trước, tìm nghiệm nguyên dương của phương tình: ${x^2} + {y^2} = {2001^{{{2003}^k} + 1}}\left( {10 - z} \right)$
___
Bài 1:Đưa phương trình về dạng $(x^k)^4+(y^k)^4=(z^k)^2$
Ta thấy rằng do phương trình bậc chẵn nên có thể nói rằng $x,y,z\geq 0$
Hay chuyển đề thành $x^4+y^4=z^2$
Ta sẽ chứng minh $x^4+y^4=k^4$ vô nghiệm hay nói cách khác chứng minh $x^4+y^4=z^2$ <1> vô nghiệm (cái này có lẽ quá quen thuộc với anh chị lớp 12)
Ta sẽ dùng
nguyên tắc cực hạn (lùi vô hạn)Giả sử $(x_0;y_0;z_0)$ là nghiệm nguyên dương của phương trình <1> mà $x_0^4+y_0^4$ nhỏ nhất. Ta có $x_0^4+y_0^4=z_0^2$ trong đó $gcd(x_0,y_0,z_0)=1$
Bộ ba số $(x_0^2;y_0^2;z_0)$ nguyên tố cùng nhau thỏa mãn phương trình Pythagore nên tồn tại các số nguyên dương $m,n$ nguyên tố cùng nhay, khác chẵn lẻ, $m>n$ sao cho.
$x_0^2=2mn,y_0^2=m^2-n^2,z_0=m^2+n^2$
Ta có $y_0^2=m^2-n^2$ nên $y_0^2+n^2=m^2$
Vậy $(y_0;n;m)$ thỏa mãn phương trình pythagore.
Do $m,n$ nguyên tố cùng nhau nên $y_0,n,m$ nguyên tố cùng nhau. Ở phương trình Pythagore trong 2 số $y_0,n$ có một số chẵn một số lẻ nên $y_0$ lẻ $n$ chẵn
Bộ ba số $(y_0,n,m)$ nguyên tố cùng nhau thỏa mãn phương trình Pythagore nên tồn tại các số nguyên dương $a,b$ nguyên tố cùng nhau, chẵn lẻ khác nhau, $a>b$ sao cho:
$y_0=a^2-b^2;n=2ab,m=a^2+b^2$
Ta có $x_0^2=2mn=2(a^2+b^2).2ab=4ab(a^2+b^2)$
Do đó $ab(a^2+b^2)$ chính phương. Dễ có $ab,a^2+b^2$ nguyên tố cùng nhau nên chúng cùng là số chính phương. Ta lại có $a,b$ nguyên tố cùng nhau nên $a,b$ cùng là số chính phương. Vậy tồn tại các số nguyên dương $x_1,y_1,z_1$ sao cho $a=x_1^2,b=y_1^2,a^2+b^2=z_1^2$
Suy ra $x_1^4+y_1^4=(x_1)^2+(y_1)^2=a^2+b^2=z_1^2$
Do $a,b$ nguyên tố cùng nhau nên $x_1;y_1$ nguyên tố cùng nhau suy ra $x_1;y_1;z_1$ nguyên tố cùng nhau.
Do vậy ta lại tìm được bộ nghiệm khác bé hơn bộ nghiệm ban đầu do vậy phương trình có nghiệm tầm thường $\boxed{(x,y,z)=(0,0,0)}$P/S đây chính là cách chứng minh định lý fermat lớn cho trường hợp $n=4$Bài 2: Nx: $VT\geq 0 \rightarrow VP \geq 0 \rightarrow 10-z\geq 0 \rightarrow z\le 10$
Ngoài ra $VP \vdots 3 \rightarrow x^2+y^2 \vdots 3 \rightarrow x=3x_1,y=3y_1$ quá trình tiếp tục
Cuối cùng suy ra $x=3^{\frac{2003^k+1}{2}}.p; y=3^{\frac{2003^k+1}{2}}.q$
Suy ra $p^2+q^2=667^{2003^k+1}(10-z)$
Và kết hợp $0<z\le 10$ với từng $z$ ta có phương pháp xét modular phù hợp
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenta98: 27-05-2012 - 09:34
tặng chú Nguyên
