Chủ đề này có 2 trả lời

[danganhaaaa]

bài1
cho 3 số thực a,b,c thỏa mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$
CMR $a+b+c\leq 2abc+\sqrt{2}$
bài2
xét các số thực a,b,c sao cho pt $ax^{2}+bx+c=0$ có 2 nghiệm đều thuộc [0,1]
tìm MIN,MAX của
$P= \frac{(a-b)(2a-b)}{a(a-b+c)}$

[Ispectorgadget]

Bài 2:

Gọi u;v là 2 nghiệm của phương trình $ax^2+bx+c=0$ ta có
\[
\left\{ \begin{array}{l}
u + v = \frac{{ - b}}{a} \\
uv = \frac{c}{a} \\
\end{array} \right.;0 \le u;v \le 1
\]
MAX P
Vì (1+u+v)(2-uv)=2(1+u+v+uv) –uv(3+u+v) nên
\[
C = 2 - \frac{{uv(3 + u + v)}}{{1 + u + v + uv}} \le 2\forall u,v \ge 0
\]
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $ax^2+bx+c=0$ có ít nhất 1 nghiệm bằng 0 nên
\[
\left\{ \begin{array}{l}
c = 0 \\
- \frac{b}{a} \in [0;1] \\
\end{array} \right.
\]
Max C
Do $u,v \in [0;1]$ nên $1 - u;1 - v;1 - uv \ge 0$ Do đó
\[
P = \frac{3}{4} + \frac{{(1 - uv)(5 + 4u + 4v) + u(1 - v) + v(1 - u)}}{{4(1 + u + v + vu)}} \ge \frac{3}{4}
\]
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \[
u = v = 1 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
b^2 - 4ac = 0 \\
b + 2a = 0 \\
\end{array} \right.
\]

[huyentrang97]

Bài 1 nhé:
Ta có:
$(a+b+c-2abc)^{2}=[(b+c)+a(1-2bc)]^{2} \leq[(b+c)^{2}+a^{2}]+[1^{2}+(1-bc)^{2}]$(theo Bunhia)
$\leq (a^{2}+b^{2}+c^{2}+2bc)(2-4bc+4b^{2}c^{2})\leq 2(1+2bc)(1-2bc+2b^{2}c^{2})$=$2-4b^{2}c^{2}(1-2bc)\leq 2(do 1=a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq 2bc)$
$\Rightarrow (a+b+c-2abc)^{2}\leq 2$
$\Rightarrow a+b+c-2abc\leq \sqrt{2}$
Dấu đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow$ a=0; b=c=$\frac{1}{\sqrt{2}}$