Chủ đề này có 2 trả lời

[davildark]

Cho a , b , c là 3 số dương thỏa $a+b+c=1$
Chứng minh phương trình
$ax^2+(\sqrt{b+c})x+4bc=0$ luôn có nghiệm

Đề thi vào lớp 10 chuyên ĐHSP TPHCM 2011-2012

[daovuquang]

Xét $\Delta=b+c-16abc\geq0$
$\Leftrightarrow b+c\geq16abc.$
Thật vậy, $16abc\leq16a\frac{(b+c)^2}{4}=4a(b+c)(b+c)\leq4\frac{(a+b+c)}{4}(b+c)=b+c\Rightarrow Q.E.D.$

[L Lawliet]

Xét $\Delta=b+c-16abc\geq0$
$\Leftrightarrow b+c\geq16abc.$
Thật vậy, $16abc\leq16a\frac{(b+c)^2}{4}=4a(b+c)(b+c)\leq4\frac{(a+b+c)}{4}(b+c)=b+c\Rightarrow Q.E.D.$

1 cách khác để chứng minh $b+c\geq16abc$:
Ta có BĐT sau đây:
$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\geq \frac{4}{x+y}$ và $\frac{1}{xy}\geq \frac{4}{(x+y)^2}$ với mọi số thực dương $x$, $y$.
2 BĐT đều có thể chứng minh dễ dàng bằng BĐT AM-GM và phương pháp biến đổi tương đương.
Áp dụng ta có:
$$\frac{1}{ab}+\frac{1}{ac}\geq \frac{4}{ab+ac}=\frac{4}{a(b+c)}\geq \frac{4.4}{(a+b+c)^2}=16$$
$$\Rightarrow \frac{1}{ab}+\frac{1}{ac}\geq 16\Leftrightarrow b+c\geq 16abc$$

$Q.E.D$