Chủ đề này có 3 trả lời

[vo thi giang]

cho các số dương a,b,c với $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1$
Chứng minh rằng$\frac{\sqrt{2a^{2}+b^{2}}}{ab}+\frac{\sqrt{2b^{2}+c^{2}}}{bc}+\frac{\sqrt{2c^{2}+a^{2}}}{ca}\geq \sqrt{3}$

[Crystal]

cho các số dương a,b,c với $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1$
Chứng minh rằng$\frac{\sqrt{2a^{2}+b^{2}}}{ab}+\frac{\sqrt{2b^{2}+c^{2}}}{bc}+\frac{\sqrt{2c^{2}+a^{2}}}{ca}\geq \sqrt{3}$

Đặt $x = \frac{1}{a},\,\,y = \frac{1}{b},\,\,z = \frac{1}{c} \Rightarrow x + y + z = 1$.

Ta cần chứng minh: \[\sqrt {{x^2} + 2{y^2}} + \sqrt {{y^2} + 2{z^2}} + \sqrt {{z^2} + 2{x^2}} \ge \sqrt 3 \]
Áp dụng Cauchy - Schwarz, ta có:
\[\sqrt {{x^2} + 2{y^2}} = \sqrt {{x^2} + {y^2} + {y^2}} \ge \frac{1}{{\sqrt 3 }}\left( {x + y + y} \right) = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\left( {x + 2y} \right)\]
Tương tự cho hai bất đẳng thức còn lại. Cộng vế theo vế, ta được:
\[\sqrt {{x^2} + 2{y^2}} + \sqrt {{y^2} + 2{z^2}} + \sqrt {{z^2} + 2{x^2}} \ge \frac{1}{{\sqrt 3 }}3\left( {x + y + z} \right) = \sqrt 3 \]
Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow a = b = c = 3$.

[wannabeforyou]

Bài này dùng Mincowski cũng được đấy bạn à, 1 bước là ra ngay

[Poseidont]

Đặt VT= A ta có :
A=$\sum \frac{\sqrt{2a^{2}+b^{2}}}{\sqrt{a^2b^2}}=\sum \sqrt{\frac{2}{b^2}+\frac{1}{a^2}}$
Áp dụng BĐT MIncopxli ta có
$\sum \sqrt{\frac{2}{b^2}+\frac{1}{a^2}}\geq \sqrt{(\frac{\sqrt{2}}{a}+\frac{\sqrt{2}}{b}+\frac{\sqrt{2}}{c} )^2+(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})^2}=\sqrt{3}$ (vì $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1$)