CM $|\frac{a-b}{c}+\frac{b-c}{a}+\frac{c-a}{b}| \leq (\frac{1}{\sqrt{2007}}-\frac{1}{\sqrt{2008}})$
với $2007 \leq a,b,c \leq 2008$
$|\frac{a-b}{c}+\frac{b-c}{a}+\frac{c-a}{b}| \leq (\frac{1}{\sqrt{2007}}-\frac{1}{\sqrt{2008}})$
Bắt đầu bởi hoa_giot_tuyet, 01-06-2012 - 23:03
#2
Đã gửi 02-06-2012 - 08:43
minh29995
-
- Thành viên
-
- 377 Bài viết
Sĩ quan
Xét:CM $|\frac{a-b}{c}+\frac{b-c}{a}+\frac{c-a}{b}| \leq (\frac{1}{\sqrt{2007}}-\frac{1}{\sqrt{2008}})$
với $2007 \leq a,b,c \leq 2008$
$A=\frac{a-b}{c}+\frac{b-c}{a}+\frac{c-a}{b}$
$=\frac{a-b}{c}+\frac{b^2-bc+ac-a^2}{ab}$
$=(a-b)(\frac{1}{c}+\frac{c-a-b}{ab})$
Xét:
$f(c)=\frac{1}{c}+\frac{c-a-b}{ab}$ với $2007\leq c\leq 2008$
có f'(c)>0 với đk trên
Suy ra hàm số đồng biến:
Mà do đk đầu bài suy ra:
$\frac{1}{c}+\frac{c-4016}{2008^2}\leq f(c)\leq \frac{1}{c}+\frac{c-2014}{2007^2}$
Suy ra:
$\frac{1}{2007}+\frac{-2009}{2008^2}\leq f(c)\leq \frac{1}{2008}+\frac{-2006}{2007^2}$
Suy ra:
$|f(c)|\leq \frac{1}{2008}+\frac{-2006}{2007^2}$
Mà $|a-b|\leq 1$
Suy ra
$VT\leq \frac{1}{2008}-\frac{2006}{2007^2}<\frac{1}{2007^2}<\frac{1}{\sqrt{2007}}-\frac{1}{\sqrt{2008}}$
ĐPCM
${\color{DarkRed} \bigstar\bigstar \bigstar \bigstar }$ Trần Văn Chém
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
