Chủ đề này có 1 trả lời

[Poseidont]

1/Tìm các số nguyên dương $x;y;z$ thỏa mãn $ 2x.y-1=z.(x-1).(y-1)$
P/s; trong THTT và TTT, lâu rồi nhưng thấy hay nên mình post

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenta98: 03-06-2012 - 23:49

[nguyenta98]

1/Tìm các số nguyên dương $x;y;z$ thỏa mãn $ 2x.y-1=z.(x-1).(y-1)$
P/s; trong THTT và TTT, lâu rồi nhưng thấy hay nên mình post

Giải như sau:
$2xy-1=z(x-1)(y-1)=z(xy-x-y+1) \rightarrow 2xy-1=zxy-zx-zy+z$
$\rightarrow 2xy=zxy-zx-zy+(z+1)$
Suy ra $z(x+y)=(z-2)xy+(z+1)$
TH1: $z\le 2 \rightarrow z=1,2$
Nếu $z=1 \rightarrow x+y=-xy+2 \rightarrow xy+x+y+1=3 \rightarrow (x+1)(y+1)=3 \rightarrow (x,y)=(2,4),(4,2)$
Nếu $z=2 \rightarrow 2(x+y)=3 \rightarrow False!$
TH2: $z>2 \rightarrow (z-2)xy>0$
Ta có $z(x+y)=(z-2)xy+(z+1) \rightarrow z(x+y)>(z-2)xy$
WLOG giả sử $x\geq y \rightarrow 2zx\geq z(x+y)>(z-2)xy \rightarrow 2z>(z-2)y \rightarrow 2z+2y> zy$
Nếu $z\geq y \rightarrow 4z\geq 2z+2y>zy \rightarrow 4>y \rightarrow y=1,2,3$
$y=1 \rightarrow z(1+x)=(z-2)x+(z+1) \rightarrow zx+z=zx-2x+z+1 \rightarrow -2x+1=0$ vô lý
$y=2 \rightarrow z(2+x)=(z-2)2x+(z+1) \rightarrow 4x+z=xz+1 \rightarrow z(x-1)-4x+4=3 \rightarrow (z-4)(x-1)=3$ đến đây ngon rồi
$y=3$ tương tự
Nếu $z\le y$ làm tương tự hoàn toàn

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenta98: 09-06-2012 - 23:11