Chủ đề này có 4 trả lời

[milinh7a]

$(\sqrt{x+3}-\sqrt{x})(\sqrt{1-x}+1)=1$

[Crystal]

$(\sqrt{x+3}-\sqrt{x})(\sqrt{1-x}+1)=1$

Điều kiện: $0 \le x \le 1$.

Ta có: \[\left( {\sqrt {x + 3} - \sqrt x } \right)\left( {\sqrt {x + 3} + \sqrt x } \right) = 3 \Rightarrow \sqrt {x + 3} - \sqrt x = \frac{3}{{\sqrt {x + 3} + \sqrt x }}\]
Khi đó phương trình đã cho trở thành:
\[3\left( {\sqrt {1 - x} + 1} \right) = \sqrt {x + 3} + \sqrt x \Leftrightarrow \sqrt {x + 3} - 2 + \sqrt x - 1 - 3\sqrt {1 - x} = 0\]
\[ \Leftrightarrow \frac{{x - 1}}{{\sqrt {x + 3} + 2}} + \frac{{x - 1}}{{\sqrt x + 1}} + \frac{{3\left( {x - 1} \right)}}{{\sqrt {1 - x} }} = 0 \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {\frac{1}{{\sqrt {x + 3} + 2}} + \frac{1}{{\sqrt x + 1}} + \frac{3}{{\sqrt {1 - x} }}} \right) = 0\]
\[ \Leftrightarrow x = 1\,\,\,\,\left(\text{do}\,\,\,\,\,\, {\frac{1}{{\sqrt {x + 3} + 2}} + \frac{1}{{\sqrt x + 1}} + \frac{3}{{\sqrt {1 - x} }} > 0} \right)\]
Vậy phương trình có nghiệm là $\fbox{x=1}$

[milinh7a]

1 cách giải khác:
ĐK: $0\leq x\leq 1$.
Vì $\sqrt{1-x}+1\geqslant 1$ nên $\sqrt{x+3}-\sqrt{x}\leq 1\Leftrightarrow \sqrt{x+3}\leq \sqrt{x}+1\Leftrightarrow x+3\leq x+1+2\sqrt{x}\Leftrightarrow \sqrt{x}\geq 1\Leftrightarrow x\geq 1$
Kết hợp với đk suy ra x=1

[tson1997]

$(\sqrt{x+3}-\sqrt{x})(\sqrt{1-x}+1)=1$(1)

Đk : $0 \leq x \leq 1$Ta có: $(1) \Leftrightarrow \frac{3(\sqrt{1-x}+1)}{\sqrt{x}+\sqrt{x+3}}=1$
Dễ thấy vế trái là 1 hàm giảm trên [0;1].Nên:
x=1 là nghiệm
x>1 thì VT < VP
x<1 thì VT > VP
Vậy pt có nghiệm duy nhất x=1

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tson1997: 05-06-2012 - 11:00

[tranwhy]

1 cách giải khác:
ĐK: $0\leq x\leq 1$.
Vì $\sqrt{1-x}+1\geqslant 1$ nên $\sqrt{x+3}-\sqrt{x}\leq 1\Leftrightarrow \sqrt{x+3}\leq \sqrt{x}+1\Leftrightarrow x+3\leq x+1+2\sqrt{x}\Leftrightarrow \sqrt{x}\geq 1\Leftrightarrow x\geq 1$
Kết hợp với đk suy ra x=1

Có lẽ cách này tối ưu nhất !