Chủ đề này có 2 trả lời

[nhantd97]

Ba số a,b, c thỏa mãn
$\left\{\begin{matrix} a+b+c=1 \\ \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1 \end{matrix}\right.$
CM : $a^{2009}+b^{2009}+c^{2009}=1$

[mituot03]

$(a+b+c)\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right ) =1 $
$\Leftrightarrow 3 +\frac{b^{2}a+b^{2}c+a^{2}c+a^{2}b+c^{2}a+c^{2}b}{abc} =1 $
$\Leftrightarrow \frac{b^{2}a+b^{2}c+a^{2}c+a^{2}b+c^{2}a+c^{2}b+2abc}{abc}=0$
$\Leftrightarrow (a+b)(b+c)(a+c)=0$
Vai trò của a,b,c như nhau xét a+b = 0 $\Rightarrow c=1$
$a^{2009}+b^{2009}+c^{2009}=(a+b).M +c^{2009}=1^{2009} =1$

[L Lawliet]

Ba số a,b, c thỏa mãn
$\left\{\begin{matrix} a+b+c=1 \\ \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1 \end{matrix}\right.$
CM : $a^{2009}+b^{2009}+c^{2009}=1$

Cách giải khác cho bài toán này:
$$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1$$
$$\Leftrightarrow \frac{a+b}{ab}=\frac{c-1}{c}$$
$$\Leftrightarrow c(a+b)=ab(c-1)$$
$$\Leftrightarrow c(a+b)=ab(c-a-b-c)$$
$$\Leftrightarrow (a+b)(c+ab)=0$$
$$\Leftrightarrow (a+b)(ab+1-a-b)=0$$
$$\Leftrightarrow (a+b)(a-1)(b-1)=0$$
$$\Leftrightarrow (a+b)(a-a-b-c)(b-a-b-c)=0$$
$$\Leftrightarrow (a+b)(b+c)(c+a)=0$$
Đến đây giải như bạn mituot03.