Đến nội dung


Hình ảnh

Cho một đa giác lồi, không có hai cạnh nào song song với nhau. Với mỗi cạnh của đa giác, ta xét góc mà đỉnh xa nhất với cạnh đó nhìn trên cạnh đó.


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 5 trả lời

#1 chuyentoan

chuyentoan

    None

  • Hiệp sỹ
  • 1650 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Darmstadt - Germany
  • Sở thích:Guitar, Bóng đá

Đã gửi 13-10-2005 - 19:44

Cho một đa giác lồi, không có hai cạnh nào song song với nhau. Với mỗi cạnh của đa giác, ta xét góc mà đỉnh xa nhất với cạnh đó nhìn trên cạnh đó. Chứng minh rằng tổng các góc đó là 180 độ.
The only way to learn mathematics is to do mathematics

#2 PSW

PSW

    Những bài toán trong tuần

  • Thành viên
  • 488 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 17-09-2012 - 07:21

Bài toán này thuộc Gameshow NHỮNG BÀI TOÁN TRONG TUẦN. Bài toán đã được công bố lại hơn 2 ngày nhưng chưa ai giải được. BTC đã đặt hoa hồng hi vọng @};- cho bài toán này.

Hoa hồng hi vọng @};- sẽ mang lại 50 điểm cho người đầu tiên giải đúng được bài toán này. Nếu hết ngày 12/09 mà vẫn không có ai giải được, BTC sẽ công bố bài toán khác, tuy nhiên hoa hồng hi vọng @};- sẽ vẫn tồn tại cho đến khi có người giải được bài toán này.

A

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PSW: 17-09-2012 - 07:21

1) Thể lệ
2) Danh sách các bài toán đã qua: 1-100, 101-200, 201-300, 301-400
Còn chờ gì nữa mà không tham gia!  :luoi:
 


#3 gogo123

gogo123

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 102 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Phan Bội Châu-Nghệ An

Đã gửi 08-11-2012 - 21:24

Xét 2 TH:
TH1: Đa giác đó chẵn cạnh:
Gọi các đỉnh đa giác đó là $A_1;A_2;...;A_{2n}$. Xét một cạnh bất kì của đa giác đó, giả sử xét cạnh $A_1A_2$ khi đó ta có đỉnh xa nhất so với cạnh đó sẽ nằm trên cạnh đối với cạnh đó (vì đa giác này lồi nên đa giác nằm trọn trong phần mặt phẳng bị giới hạn bởi hai cạnh này) là cạnh $A_{n+1}A_{n+2}$.
Xét 2 tứ giác $A_1A_2A_{n+1}A_{n+2}$ (hình 1), khi đó ta có 2 cạnh $A_1A_2;A_{n+1}A_{n+2}$ cắt nhau về một phía thuộc nửa mặt phẳng không chứa $A_1A_{n+2}$ bờ $A_2A_{n+1}$ hoặc ngược lại. Do đó, nếu một trong hai góc có đỉnh là $A_2$ thì góc kia có đỉnh là $A_{n+1}$ và nếu một trong hai góc có đỉnh là $A_1$ thì góc kia có đỉnh là $A_{n+2}$.Gọi giao điểm hai đường chéo của tứ giác là O thì 2 góc tương ứng với 2 cạnh trên cùng thuộc một tam giác $OA_1A_{n+2}$ hoặc $OA_2A_{n+1}$.
Ta lại có tổng hai góc này bằng tổng 2 góc của tam giác kia (vì 2 tam giác có chung đỉnh O).
Vậy với 2 cạnh đối diện thì tổng 2 góc thoã mãn bài toán $=\frac{1}{2}$ tổng 4 góc nhìn 2 cạnh này từ 2 đỉnh thuộc cạnh đối diện(ví dụ $=\frac{1}{2}(OA_1A_{n+2}+OA_2A_{n+1}+OA_{n+2}A_1+OA_{n+1}A_2)$
$=A_1OA_2=180^{o}-A_1A_2A_{n+2}-A_2A_1A_{n+1}$ ) như hình 2
Như vậy tổng tất cả các góc thoã mãn bài toán bằng $=(n-2).180^{o}-$ tổng các góc của đa giác $A_1A_2....A_{n}$$=180^{o}$
TH2. Đa giác đã cho có lẻ cạnh là $A_1A_2...A_{2n+1}$. Khi đó do tính chất lồi của đa giác nên đỉnh xa cạnh $A_1A_2$ là đỉnh $A_{n+1}$ ( vì nếu ngược lại thì sẽ tồn tại cạnh kéo dài ma cắt lại đa giác, vô lí).
Khi đó tổng tất cả các góc này $2n.180^{o}-$ tổng các góc của đa giác đó $=180^{o}$.(hình 3)

File gửi kèm

  • File gửi kèm  DDTH1.bmp   2.41MB   96 Số lần tải
  • File gửi kèm  DDTH2.bmp   953.91K   93 Số lần tải
  • File gửi kèm  DDTH3.bmp   769.55K   88 Số lần tải

LKN-LLT


#4 PSW

PSW

    Những bài toán trong tuần

  • Thành viên
  • 488 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 13-11-2012 - 22:54

Chấm điểm:
gogo123: 50 điểm

1) Thể lệ
2) Danh sách các bài toán đã qua: 1-100, 101-200, 201-300, 301-400
Còn chờ gì nữa mà không tham gia!  :luoi:
 


#5 HeilHitler

HeilHitler

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 65 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Thanh Hóa
  • Sở thích:Trời làm màn gối đất làm chiên-Nhật nguyệt cùng ta một giấc yên-Đêm khuya chẳng dám dang chân duỗi-Chỉ sợ sơn hà xã tắc nghiêng.

Đã gửi 22-11-2012 - 16:34

Hình đã gửi

Xét 2 TH:
TH1: Đa giác đó chẵn cạnh:
Gọi các đỉnh đa giác đó là $A_1;A_2;...;A_{2n}$. Xét một cạnh bất kì của đa giác đó, giả sử xét cạnh $A_1A_2$ khi đó ta có đỉnh xa nhất so với cạnh đó sẽ nằm trên cạnh đối với cạnh đó (vì đa giác này lồi nên đa giác nằm trọn trong phần mặt phẳng bị giới hạn bởi hai cạnh này) là cạnh $A_{n+1}A_{n+2}$.
Xét 2 tứ giác $A_1A_2A_{n+1}A_{n+2}$ (hình 1), khi đó ta có 2 cạnh $A_1A_2;A_{n+1}A_{n+2}$ cắt nhau về một phía thuộc nửa mặt phẳng không chứa $A_1A_{n+2}$ bờ $A_2A_{n+1}$ hoặc ngược lại. Do đó, nếu một trong hai góc có đỉnh là $A_2$ thì góc kia có đỉnh là $A_{n+1}$ và nếu một trong hai góc có đỉnh là $A_1$ thì góc kia có đỉnh là $A_{n+2}$.Gọi giao điểm hai đường chéo của tứ giác là O thì 2 góc tương ứng với 2 cạnh trên cùng thuộc một tam giác $OA_1A_{n+2}$ hoặc $OA_2A_{n+1}$.
Ta lại có tổng hai góc này bằng tổng 2 góc của tam giác kia (vì 2 tam giác có chung đỉnh O).
Vậy với 2 cạnh đối diện thì tổng 2 góc thoã mãn bài toán $=\frac{1}{2}$ tổng 4 góc nhìn 2 cạnh này từ 2 đỉnh thuộc cạnh đối diện(ví dụ $=\frac{1}{2}(OA_1A_{n+2}+OA_2A_{n+1}+OA_{n+2}A_1+OA_{n+1}A_2)$
$=A_1OA_2=180^{o}-A_1A_2A_{n+2}-A_2A_1A_{n+1}$ ) như hình 2
Như vậy tổng tất cả các góc thoã mãn bài toán bằng $=(n-2).180^{o}-$ tổng các góc của đa giác $A_1A_2....A_{n}$$=180^{o}$
TH2. Đa giác đã cho có lẻ cạnh là $A_1A_2...A_{2n+1}$. Khi đó do tính chất lồi của đa giác nên đỉnh xa cạnh $A_1A_2$ là đỉnh $A_{n+1}$ ( vì nếu ngược lại thì sẽ tồn tại cạnh kéo dài ma cắt lại đa giác, vô lí).
Khi đó tổng tất cả các góc này $2n.180^{o}-$ tổng các góc của đa giác đó $=180^{o}$.(hình 3)

Bài làm của bạn rất hay, tuy nhiên trường hợp lẻ cạnh bạn lý luận có vẻ chưa thuyết phục, vì việc khẳng định đỉnh xa cạnh $A_1A_2$ nhất là đỉnh $A_{n+1}$ thì chưa chính xác, mình mới kiểm tra cho $n=2$. Ở trường hợp 1 (hình vẽ) thì xa cạnh $A_1A_2$ nhất là $A_4$, nhưng ở trường hợp 2 (hình vẽ) thì xa cạnh $A_1A_2$ nhất lại là $A_3$. Tương tự trường hợp chẵn cạnh cũng có thể dễ dàng chỉ ra các phản ví dụ cho lý luận của bạn. Mong bạn cho hồi đáp sớm về vấn đề này.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HeilHitler: 22-11-2012 - 18:02


#6 Trungpbc

Trungpbc

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 20 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nghệ An
  • Sở thích:Toán,conan

Đã gửi 02-04-2013 - 10:16

Nhận xét của Heihitler hoàn toàn chính xác, có thể chỉ ra phản ví dụ trong lập luận của gogo123. (mong chú sớm post lời giải mới)

Để giải bài toán này ta cần sử dụng đặc trưng Minkowski của đa giác lồi.

Gọi $A_{1},A_{2},... ,A_{n}$ là các đỉnh của đa giác cần xét theo thứ tự ngược chiều kim đồng hồ và định hướng mặt phẳng (hướng dương) bởi hướng của đa giác $A_{1}A_{2},... A_{n}$. Chọn một điểm $O$ bất kì là gốc và vẽ $2n$ vector $\pm \overrightarrow{A_{i}A_{i+1}}$, $i=1,2,...,n$ với quy ước $A_{n+j}=A_{j}$. Gọi các vector gốc $O$ này theo thứ tự ngược chiều kim đồng hồ là $\overrightarrow{b_{1}},\overrightarrow{b_{2}},...,\overrightarrow{b_{2n}}$ (ở đây, vector $\overrightarrow{b_{1}}$ được chọn bất kì). Ta có một nhận xét rằng $\overrightarrow{b_{j}}=-\overrightarrow{b_{j+n}}$ với mọi $j=1,2,...,n$. Từ đó, ta xác định đặc trưng của $A_{1}A_{2},... A_{n}$ là hình $B_{1}B_{2}...B_{2n}$ bởi tính chất $\overrightarrow{B_{i}B_{i+1}}=\overrightarrow{b_{i}}$. Chú ý rằng $B_{1}B_{2}...B_{2n}$ là hình đóng do $\sum_{i=1}^{2n}\overrightarrow{b_{i}}=\overrightarrow{0}$ và là đa giác lồi do $\left (\overrightarrow{B_{i}B_{i+1}},\overrightarrow{B_{i+1}B_{i+2}}  \right )_{0} $ bé hơn $\pi $.

Rõ ràng, $\overrightarrow{B_{j}B_{j+1}}=-\overrightarrow{B_{j+n}B_{j+n+1}}$ với mọi $j$ nên tồn tại $O$ là tâm đối xứng của đa giác $B_{1}B_{2}...B_{2n}$

Xét $A_{i}A_{i+1}$ là một cạnh bất kì của đa giác ban đầu. Gọi $A_{k}$ là đỉnh có khoảng cách xa nhất đối với $A_{i}A_{i+1}$ và $j$ là chỉ số thỏa mãn $\overrightarrow{A_{i}A_{i+1}}=\overrightarrow{B_{j}B_{j+1}}$. Hiển nhiên: $$\overrightarrow{A_{i}A_{k}}=\overrightarrow{A_{i}A_{i+1}}+...+\overrightarrow{A_{k-1}A_{k}}=\overrightarrow{A_{i}A_{i-1}}+...+\overrightarrow{A_{k+1}A_{k}}$$ Và $$\overrightarrow{B_{j}B_{j+n}}=\overrightarrow{b_{j}}+...+\overrightarrow{b_{j+n-1}}$$ Chú ý $n$ vector $\overrightarrow{b_{j}},\overrightarrow{b_{j+1}},...,\overrightarrow{b_{j+n-1}}$ đôi một không cùng phương, góc định hướng $\left ( b_{j},b_{j+i} \right )_{0} <\pi $ với mọi $i=0,1,2,...,n-1$; đồng thời tất cả các vector đôi một không cùng phương và tạo với $\overrightarrow{A_{i}A_{i+1}}$ góc định hướng (với chu kì quay là $0$) nhỏ hơn $\pi$ là $\overrightarrow{A_{i}A_{i+1}},...,\overrightarrow{A_{k-1}A_{k}},\overrightarrow{A_{i}A_{i-1}},...,\overrightarrow{A_{k+1}A_{k}}$ suy ra $\overrightarrow{A_{i}A_{i+1}},...,\overrightarrow{A_{k-1}A_{k}},\overrightarrow{A_{i}A_{i-1}},...,\overrightarrow{A_{k+1}A_{k}}$ là một hoán vị của $\overrightarrow{b_{j}},\overrightarrow{b_{j+1}}...,\overrightarrow{b_{j+n-1}}$. Do đó: $$\overrightarrow{B_{j}B_{j+n}}=2\overrightarrow{A_{i}A_{k}}$$ Tương tự như vậy: $$\overrightarrow{B_{j+1}B_{j+n+1}}=2\overrightarrow{A_{i+1}A_{k}}$$ Suy ra $$\widehat{A_{i}A_{k}A_{i+1}}=\widehat{B_{j}OB_{j+1}}=\widehat{B_{j+n}OB_{j+n+1}}$$ Thành thử, tổng các góc cần tính chính bằng $$\frac{1}{2}\sum_{j=1}^{2n}\widehat{B_{j}OB_{j+1}}=\frac{360^{0}}{2}=180^{0}$$ ta có đpcm.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Trungpbc: 02-04-2013 - 10:22





2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh