Chủ đề này có 1 trả lời

[phuc_90]

Bài toán : Cho $a,b,c$ là các số tự nhiên không âm

sao cho $\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}$ và $\frac{a}{c}+\frac{c}{b}+\frac{b}{a}$ là các số tự nhiên

Chứng minh rằng $a=b=c$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phuc_90: 08-06-2012 - 18:27

[The Gunner]

Bài toán : Cho $a,b,c$ là các số tự nhiên không âm

sao cho $\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}$ và $\frac{a}{c}+\frac{c}{b}+\frac{b}{a}$ là các số tự nhiên

Chứng minh rằng $a=b=c$

Đặt $p=\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a} \in \mathbb{N}$ và $q=\frac{a}{c}+\frac{c}{b}+\frac{b}{a}\in \mathbb{N}$
Xét đa thức $(x-\frac{a}{b})(x-\frac{b}{c})(x-\frac{c}{a})=x^3-px^2+qx-1$
đa thức này có các nghiệm là $1;-1$ mà vì dương hết nên suy ra $\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{a}=1$ nên $a=b=c$
P/s: mở rộng trên tập số nguyên thì đpcm là $|a|=|b|=|c|$