Chủ đề này có 5 trả lời

[euler]

BẤT ĐẴNG THỨC TREBUSEP
Cho hai dãy đơn điệu tăng http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\text{a}_1\le\text{a}_2\le...\le\text{a}_n và http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\text{b}_1\le\text{b}_2\le...\le\text{b}_n Khi đó ta có
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\text{a}_1=\text{a}_2=...\text{a}_n hoặc http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\text{b}_1=\text{b}_2=...\text{b}_n
chứng minh
Cách 1:
dùng quy nạp toán học
với n=2 .Giả sử http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\text{a}_1\le\text{a}_2 ; http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\text{b}_1\le\text{b}_2 khi đó ta có
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\text{a}_1\text{b}_1+\text{a}_2\text{b}_2\ge\text{a}_1\text{b}_2+\text{a}_2\text{b}_1
=>http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?2(\text{a}_1\text{b}_1+\text{a}_2\text{b}_2)\ge(\text{a}_1+\text{a}_2)(\text{b}_1+\text{b}_2)
đẵng thức xãy ra khi và chỉ khi hoặc http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\text{a}_1=\text{a}_2 hoặc http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\text{b}_1=\text{b}_2
bất đẵng thức trebusep đúng khi n =2
giả sử bất đẵng thức đúng với n=k
ta xét n=k+1 .giả sử ta có http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\text{a}_1\le\text{a}_2\le...\le\text{a}_k\le\text{a}_{k+1} và http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\text{b}_1\le\text{b}_2\le...\le\text{b}_k\le\text{b}_{k+1}
áp dụng giả thiết quy nạp với 2 dãy
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\text{a}_2\le\text{a}_3\le...\le\text{a}_k\le\text{a}_{k+1} và http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\text{b}_2\le\text{b}_3\le...\le\text{b}_k\le\text{b}_{k+1} ta có
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\text{a}_1=\text{a}_2=...\text{a}_{k+1} hoặc http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\text{b}_1=\text{b}_2=...\text{b}_{k+1}
vậy bất đẵng thức trebusep đúng với n=k+1
theo nguyên lí quy nạp thì ra điều cần chứng minh

[chuyentoan]

bài trên có cách giải nhẹ nhàng hơn:

Bổ đề (Bất đẳng thức sắp xếp lại)
cho 2 dãy http://dientuvietnam...gi?(a_1 ... a_n)(b_1+...+b_n) thành n tổng mà mỗi tổng có dạng http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\sum^{n}_{i=1}c_ib_i với là một hoán vị của suy ra điều phải chứng minh

[euler]

Cách 2 :
đặt http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\large\text{A}=\dfrac{\text{a}_1+\text{a}_2+...+\text{a}_n}{n}
do http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\text{a}_1\le\text{a}_2\le...\le\text{a}_n nên tồn tại chỉ một số i sao cho http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\large\text{a}_1\le\text{a}_2\le...\le\text{a}_i\le\text{a}_{i+1}\le\text{a}_{i+2}\le...\le\text{a}_n
Lấy số b tùy ý sao cho
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\large\text{b}_1\le\text{b}_2\le...\le\text{b}_i\le\text{b}_{i+1}\le\text{b}_{i+2}\le...\le\text{b}_n
Khi đó rõ ràng với mọi k=1,2,..,n ta luôn có
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\large\sum_{k=1}^{n}\text{a}_k\text{b}_k\ge\dfrac{1}{n}(\sum_{k=1}^{n}\text{a}_k)(\sum_{k=1}^{n}\text{b}_k)<=>đpcm

[euler]

áp dụng bất đẵng thức trebusep giải một số bài sau
câu 1: cho chứng minh rằng

câu 2: cho tg ABC nhọn.chứng minh rằng

[stupid_mathematician]

Tớ đề nghị khi giải các bạn chỉ nêu hơưng giải ngắn ngọn thôi không ngaụi đọc lắm!!! Các bạn thử dùng nó để giải bài toán sau nhé:
Cho http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\sum_1^5{\dfrac{1}{1+a_i^2}}=1
Tìm max của http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\sum_1^5{\dfrac{a_i}{1+a_i^2}}

[MrMATH]

thêm 1 cách nữa: http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?n\sum_{i=1}^{n}{a_ib_i}-(\sum_{i=1}^{n}{a_i})(\sum_{i=1}^{n}{b_i})=\sum_{i<j}{(a_i-b_i)(a_j-b_j)}